Question

33、如圖所示，把一個(gè)直角三角尺ABC繞著60°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)D重合，已知BC=6．
（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？連接CD，試判斷△BCD的形狀；
（2）求AD的長(zhǎng)；
（3）連接CE，試猜想線(xiàn)段AC與CE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由直角三角尺ABC繞著60°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)D重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=BC，∠DBC等于旋轉(zhuǎn)角，且∠DBC=180°-60°=120°，即可判斷所三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，△BCD的形狀；
（2）由三角尺ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，得到AB=2BC=2×6=12，而B(niǎo)D=BC，即可得到AD=AB+BD的長(zhǎng)；
（3）連接CE，△BCD為等腰三角形，由∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE垂直平分底邊CD，則CE=DE，即可得到AC=CE．

解答：解：（1）∵直角三角尺ABC繞著60°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)D重合，
∴BD=BC，∠DBC等于旋轉(zhuǎn)角，且∠DBC=180°-60°=120°，
∴三角尺旋轉(zhuǎn)了120度，△BCD為等腰三角形；
（2）∵三角尺ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2×6=12，
∵BD=BC，A、B、D三點(diǎn)在一直線(xiàn)上，
∴AD=AB+BD=12+6=18；
（3）如圖，連接CE，則AC=CE．

證明如下：
∵BC=BD，
即△BCD為等腰三角形，
又∵∠EBD=∠ABC=60°，
而點(diǎn)A、B、D在一條直線(xiàn)上，
∴∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，
即BE平分等腰△BCD的頂角，
∴BE垂直平分底邊CD，
∴CE=DE，
而DE=AC
所以AC=CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．