【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6cmBC=8cm,EF是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別從AC同時(shí)出發(fā),相向而行,速度均為2cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0≤t≤5)秒.

1)若G、H分別是ABDC的中點(diǎn),且t≠2.5s,求證:以EG、F、H為頂點(diǎn)的四邊形始終是平行四邊形;

2)在(1)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí)?以E、G、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形;

3)若G、H分別是折線A-B-CC-D-A上的動(dòng)點(diǎn),分別從AC開(kāi)始,與EF相同的速度同時(shí)出發(fā),當(dāng)t為何值時(shí),以EG、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)直接寫出t的值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)t4.5秒或0.5秒時(shí),四邊形EGFH是矩形;(3t秒時(shí),四邊形EGFH是菱形.

【解析】

1)根據(jù)勾股定理求出AC,證明AFG≌△CEH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF=HE,利用內(nèi)錯(cuò)角相等得GFHE,根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論;

2)如圖1,連接GH,分AC-AE-CF=8AE+CF-AC=8兩種情況,列方程計(jì)算即可;

3)連接AGCH,判定四邊形AGCH是菱形,得到AG=CG,根據(jù)勾股定理求出BG,得到AB+BG的長(zhǎng),根據(jù)題意解答.

解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,

AB=CDABCD,ADBC,∠B=90°,

∴∠BAC=DCA

AB=6cm,BC=8cm,

AC=10cm,

G、H分別是AB、DC的中點(diǎn),

AG=AB,CH=CD

AG=CH,

EF是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別從AC同時(shí)出發(fā),相向而行,速度均為2cm/s,

AE=CF

AF=CE,

∴△AGF≌△CHESAS),

GF=HE,∠AFG=CEH,

GFHE,

∴以E、GFH為頂點(diǎn)的四邊形始終是平行四邊形;

2)如圖1,連接GH,由(1)可知四邊形EGFH是平行四邊形,

G、H分別是ABDC的中點(diǎn),

GH=BC=8cm,

∴當(dāng)EF=GH=8cm時(shí),四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:

①若AE=CF=2t,則EF=10-4t=8,解得:t=0.5

②若AE=CF=2t,則EF=2t+2t-10=8,解得:t=4.5,

即當(dāng)t4.5秒或0.5秒時(shí),四邊形EGFH是矩形;

3)如圖2,連接AGCH,

∵四邊形GEHF是菱形,

GHEF,OG=OHOE=OF,

AF=CE

OA=OC,

∴四邊形AGCH是菱形,

AG=CG

設(shè)AG=CG=x,則BG=8-x,

由勾股定理得:AB2+BG2=AG2

62+8-x2=x2,解得:x=,

BG=8-=

AB+BG=6+=,

t=÷2=,

t秒時(shí),四邊形EGFH是菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. (2900-x)(8+4×)=5000 B. (400-x)(8+4×)=5000

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