Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．

①寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；

②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=-m2+m，最大值為；（3）①（，），②45°.

【解析】

試題分析：（1）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)M的位置可確定0＜m＜3，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，可設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，最大值也可求出.（3）①把m=代入二次函數(shù)解析式，可求出M′的坐標(biāo)，②過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，則BF=d1+d2，當(dāng)BF最大時(shí)可求出旋轉(zhuǎn)角.

試題解析： （1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，

∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，∴0＜m＜3，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，由題意知：M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），∴D的縱坐標(biāo)為：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐標(biāo)為（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DMOB=××3=-m2+m=-（m-）2+，S最大值為；（3）①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（，）；②過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F根據(jù)題意知：d1+d2=BF，∵∠BFM′=90°，∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧BM′H上，∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴ ﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，

cos∠M′BG= ，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.