Question

【題目】如圖所示，正方形ABCD中，點E、F、G分別是邊AD、AB、BC的中點，連接EP、FG．

（1）如圖1，直接寫出EF與FG的關(guān)系____________；

（2）如圖2，若點P為BC延長線上一動點，連接FP，將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FH，連接EH．

①求證：△FFE≌△PFG；②直接寫出EF、EH、BP三者之間的關(guān)系；

（3）如圖3，若點P為CB延長線上的一動點，連接FP，按照(2)中的做法，在圖(3)中補全圖形，并直接寫出EF、EH、BP三者之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）EF⊥FG，EF=FG；（2）詳見解析；（3）補全圖形如圖3所示，EF+BP=EH．

【解析】

（1）根據(jù)線段中點的定義求出AE=AF=BF=BG，得出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，求出∠EFG的度數(shù)，由“SAS”證得△AEF和△BFG全等，得出EF=FG，即可得出結(jié)果；

（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PFH=90°，FP=FH，證出∠GFP=∠EFH，由SAS即可得出△HFE≌△PFG；

②由全等三角形的性質(zhì)得出EH=PG，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF=AF=BG，因此BG=EF，再由BG+GP=BP，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)題意作出圖形，然后同（2）的思路求解即可．

解：（1）如圖1所示：

∵點E、F、G分別是邊AD、AB、BC的中點，

∴AE=AF=BF=BG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，

∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-45°-45°=90°，

∴EF⊥FG，

在△AEF和△BFG中，

，

∴△AEF≌△BFG（SAS），

∴EF=FG，

故答案為：EF⊥FG，EF=FG；

（2）如圖2所示：

①證明：由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FH，

∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠GFP+∠PFE=90°，∠PFE+∠EFH=90°，

∴∠GFP=∠EFH，

在△HFE和△PFG中，

，

∴△HFE≌△PFG（SAS）；

②解：由①得：△HFE≌△PFG，∴EH=PG，

∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠B=90°，

∴EF=AF=BG，

∴BG=EF，

∵BG+GP=BP，

∴EF+EH=BP；

（3）解：補全圖形如圖3所示，EF+BP=EH．理由如下：

由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FH，

∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠EFG+∠GFH=∠EFH，∠PFH+∠GFH=GFP，

∴∠GFP=∠EFH，

在△HFE和△PFG中，

，

∴△HFE≌△PFG（SAS），

∴EH=PG，

∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠ABC=90°，

∴EF=AF=BG，

∴BG=EF，

∵BG+BP=PG，

∴EF+BP=EH．