Question

（2012•揚(yáng)州）已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．
（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；
∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）．

（3）拋物線的對(duì)稱軸為：x=-

b

2a

=1，設(shè)M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：
MA²=m²+4，MC²=（3-m）²+1=m²-6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，則MA²=MC²，得：
m²+4=m²-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，則MA²=AC²，得：
m²+4=10，得：m=±

6

；
③若MC=AC，則MC²=AC²，得：
m²-6m+10=10，得：m₁=0，m₂=6；
當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，

6

）（1，-

6

）（1，1）（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：該二次函數(shù)綜合題涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)，在判定等腰三角形時(shí)，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進(jìn)行討論，以免漏解．