Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．
（1）求證：BF=AC；
（2）求證：CE=BF；
（3）CE與BG的大小關系如何？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，從而得出BF=AC．
（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因為BF=AC所以CE=AC=BF
（3）利用等腰三角形“三線合一”）和勾股定理即可求解．
解答：（1）證明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．
∴BF=AC；

（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；

（3）證明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，則CD=BD．
H為BC中點，則DH⊥BC（等腰三角形“三線合一”）
連接CG，則BG=CG，∠GCB=∠GBC=∠ABC=×45°=22.5°，∠EGC=45°．
又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．
∵△GEC是直角三角形，
∴CE²+GE²=CG²，
∵DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴CE²+GE²=CG²=BG²；即2CE²=BG²，BG=CE，
∴BG＞CE．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．在復雜的圖形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并應用此點．