Question

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上．
（1）請(qǐng)問(wèn)：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（2）如果∠B=60°，請(qǐng)問(wèn)BD和DC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=EC，AB=AE，繼而證得AB+BD=AE+DE=DC．
（2）易得△ABE是等邊三角形，則可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得結(jié)論．

解答：解：（1）AB+BD=DC．
證明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）DC=3BD．
證明：∵AB=AE，∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，
∵AE=EC，
∴∠C=∠CAE=

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∠AEB=30°，
∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=2AB，
在Rt△AABD中，AB=2BD，
∴BC=4BD，
∴DC=3BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．