【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形,點A,B在x軸上,△MBC是邊長為2的等邊三角形,過點M作直線l與x軸垂直,交⊙M于點E,垂足為點M,且點D平分

(1)求過A,B,E三點的拋物線的解析式;
(2)求證:四邊形AMCD是菱形;
(3)請問在拋物線上是否存在一點P,使得△ABP的面積等于定值5?若存在,請求出所有的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意可知,△MBC為等邊三角形,點A,B,C,E均在⊙M上,

則MA=MB=MC=ME=2,

又∵CO⊥MB,

∴MO=BO=1,

∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),

拋物線頂點E的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),

設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2﹣2(a≠0)

把點B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,

解得:a= ,

故二次函數(shù)解析式為:y= (x+1)2﹣2;


(2)

證明:

連接DM,

∵△MBC為等邊三角形,

∴∠CMB=60°,

∴∠AMC=120°,

∵點D平分弧AC,

∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,

∵MD=MC=MA,

∴△MCD,△MDA是等邊三角形,

∴DC=CM=MA=AD,

∴四邊形AMCD為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形);


(3)

解:存在.

理由如下:

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,n)

∵SABP= AB|n|,AB=4

×4×|n|=5,

即2|n|=5,

解得:n=± ,

當(dāng) 時, (m+1)2﹣2= ,

解此方程得:m1=2,m2=﹣4

即點P的坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ),

當(dāng)n=﹣ 時, (m+1)2﹣2=﹣

此方程無解,

故所求點P坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ).


【解析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識,正確得出E點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標(biāo),再利用頂點式求出函數(shù)解析式;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,進而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出△ABP的面積進而求出n的值,再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點坐標(biāo).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是斜邊上一定點,過點P作直線與一直角邊交于點Q使圖中出現(xiàn)兩個相似三角形,這樣的點Q有 ( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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【題目】(列方程(組)及不等式解應(yīng)用題)
春節(jié)期間,某商場計劃購進甲、乙兩種商品,已知購進甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場需求,需購進甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請你求出獲利最大的進貨方案,并確定最大利潤.

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A.1.2,1.3
B.1.4,1.3
C.1.4,1.35
D.1.3,1.3

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(1)求m及k的值;
(2)求點C的坐標(biāo),并結(jié)合圖象寫出不等式組0<x+m≤ 的解集.

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(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.

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A.只有②
B.只有③
C.②③
D.①②③

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然后在①式的兩邊都乘以3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,
②﹣①得,3S﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,
隨意S=
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