【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形,點A,B在x軸上,△MBC是邊長為2的等邊三角形,過點M作直線l與x軸垂直,交⊙M于點E,垂足為點M,且點D平分 .
(1)求過A,B,E三點的拋物線的解析式;
(2)求證:四邊形AMCD是菱形;
(3)請問在拋物線上是否存在一點P,使得△ABP的面積等于定值5?若存在,請求出所有的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意可知,△MBC為等邊三角形,點A,B,C,E均在⊙M上,
則MA=MB=MC=ME=2,
又∵CO⊥MB,
∴MO=BO=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),
拋物線頂點E的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),
設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2﹣2(a≠0)
把點B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,
解得:a= ,
故二次函數(shù)解析式為:y= (x+1)2﹣2;
(2)
證明:
連接DM,
∵△MBC為等邊三角形,
∴∠CMB=60°,
∴∠AMC=120°,
∵點D平分弧AC,
∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,
∵MD=MC=MA,
∴△MCD,△MDA是等邊三角形,
∴DC=CM=MA=AD,
∴四邊形AMCD為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形);
(3)
解:存在.
理由如下:
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,n)
∵S△ABP= AB|n|,AB=4
∴ ×4×|n|=5,
即2|n|=5,
解得:n=± ,
當(dāng) 時, (m+1)2﹣2= ,
解此方程得:m1=2,m2=﹣4
即點P的坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ),
當(dāng)n=﹣ 時, (m+1)2﹣2=﹣ ,
此方程無解,
故所求點P坐標(biāo)為(2, ),(﹣4, ).
【解析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識,正確得出E點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標(biāo),再利用頂點式求出函數(shù)解析式;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,進而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出△ABP的面積進而求出n的值,再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點坐標(biāo).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是斜邊上一定點,過點P作直線與一直角邊交于點Q使圖中出現(xiàn)兩個相似三角形,這樣的點Q有 ( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(列方程(組)及不等式解應(yīng)用題)
春節(jié)期間,某商場計劃購進甲、乙兩種商品,已知購進甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場需求,需購進甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請你求出獲利最大的進貨方案,并確定最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】趙老師是一名健步走運動的愛好者,她用手機軟件記錄了某個月(30天)每天健步走的步數(shù)(單位:萬步),將記錄結(jié)果繪制成了如圖所示的統(tǒng)計圖.在每天所走的步數(shù)這組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.1.2,1.3
B.1.4,1.3
C.1.4,1.35
D.1.3,1.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+m的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A,B兩點,且與x軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(2,1).
(1)求m及k的值;
(2)求點C的坐標(biāo),并結(jié)合圖象寫出不等式組0<x+m≤ 的解集.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點A作AE⊥BD,垂足為點E,若∠EAC=2∠CAD,則∠BAE=度.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB邊上一點(點E不與點A、B重合),DE的延長線交⊙O于點G,DF⊥DG,且交BC于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均相等.網(wǎng)格中三個多邊形(分別標(biāo)記為①,②,③)的頂點均在格點上.被一個多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中,豎直部分線段長度之和記為m,水平部分線段長度之和記為n,則這三個多邊形中滿足m=n的是( )
A.只有②
B.只有③
C.②③
D.①②③
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【題目】在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時,張紅發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,
然后在①式的兩邊都乘以3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,
②﹣①得,3S﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,
隨意S= .
得出答案后,愛動腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正確答案是 .
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