【題目】如圖,點A、B分別位于x軸負、正半軸上,OA、OB﹙OAOB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根,C0,3),且SABC=6

1)求線段AB的長;

2)求∠ABC的度數(shù);

3)過點CCDACx軸于點D,求點D的坐標;

4y軸上是否存在點P,使∠PBA=ACB?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)4;(2)45°;(3)D(9,0);(4)0,﹣9)或(0,9).

【解析】試題分析:1)由點C的坐標確定出OC的長,根據(jù)三角形ABC面積求出AB的長即可;

2)根據(jù)OA、OB﹙OAOB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根,表示出OA+OB,即為AB的長,進而求出m的值,確定出方程,求出解得到AB坐標,得到三角形OBC為等腰直角三角形,即可求出∠ABC的度數(shù);

3)如圖1所示,作CDAC,交x軸于點D,根據(jù)同角的余角相等及一對公共角,得到三角形AOC與三角形COD相似,由相似得比例求出OD的長,即可確定出點D的坐標;

4y軸上存在點P,使∠PBA=ACB,理由為:y軸上存在點P,使∠PBA=CAB,如圖2所示,過點BPBAC,設直線AC解析式為y=kx+b,把點A和點C坐標代入求出kb的值,確定出直線AC解析式,進而求出直線PB解析式,求出點P坐標,再利用對稱性求出點P′坐標即可.

試題解析:1∵點C0,3),

OC=3,

SABC=6

×AB×OC=6,

AB=4

2OA、OB﹙OAOB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根,

OA+OB=4m,

4m=4,即m=1,

∴方程可化為:x2﹣4x+3=0,

解得:x1=1,x2=3,

A﹣10),B3,0),

∴△OBC是等腰直角三角形,

∴∠ABC=45°

3)如圖1所示,作CDAC,交x軸于點D,

∵∠AOC=ACD=90°,

∴∠CAO+ACO=90°,ACO+DCO=90°

∴∠CAO=DCO,

∴△AOC∽△COD,

OD==9

D9,0);

4y軸上存在點P,使∠PBA=CAB,如圖2所示,

過點BPBAC

設直線AC解析式為y=kx+b,

A﹣1,0),C0,3)代入得:

,

解得:

∴直線AC的解析式為:y=3x+3,

設直線PB解析式為y=3x+b,

B30)代入得:0=9+b,即b=﹣9,

∴直線PB的解析式為:y=3x﹣9

P點的坐標為(0,﹣9),根據(jù)對稱性得P′09),

y軸上存在點P,使∠PBA=ACB,此時P坐標為(0﹣9)或(0,9).

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