【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y= x+1與拋物線y=ax2+bx﹣3交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB與點(diǎn)C,作PD⊥AB于點(diǎn)D
(1)①求拋物線的解析式;②求sin∠ACP的值
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng),并求出線段PD長(zhǎng)的最大值;
②連接PB,線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形,求出當(dāng)這兩個(gè)三角形面積之比為9:10時(shí)的m值;
③是否存在適合的m值,使△PCD與△PBD相似?若存在,直接寫(xiě)出m值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:①當(dāng)y=0時(shí), x+1=0,解得x=﹣2,則A(﹣2,0),
當(dāng)y=3時(shí), x+1=3,解得x=4,則B(4,3),
把A(﹣2,0),B(4,3)代入y=ax2+bx﹣3得 ,解得 ,
∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3;
②過(guò)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,如圖1,
AE=4﹣(﹣2)=6,AB= =3 ,
在Rt△ABE中,sin∠ABE= = = ,
∵PC∥BE,
∴sin∠ACP=sin∠ABE= ;
(2)
解:設(shè)P(m, m2﹣ m﹣3),則C(m, m+1),BM=4﹣m,
∴PC= m+1﹣( m2﹣ m﹣3)=﹣ m2+m+4,
∵sin∠ACP= = ,
∴PD=﹣ m2+ m+ =﹣ (m﹣1)2+ ,
當(dāng)m=1時(shí),線段PD長(zhǎng)的最大值為 ;
②作BM⊥PC,交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作DN⊥PC于點(diǎn)N,如圖,
∵sinP=sin∠BAE= = ,
∴ = ,
∴DN= ( m2+ m+ )=﹣ m2+ m+ ,
∵DN∥BM,
∴ = ,
∵線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積之比為9:10,
∴當(dāng) = = ,即 = ,
整理得2m2﹣13m+20=0,解得m1= ,m2=4(舍去);
當(dāng) = = ,即 = ,
整理得9m2﹣68m+128=0,解得m1= ,m2=4(舍去);
綜上所述,m的值為 或 ;
③存在.
如圖2,連接PB交x軸于Q,
∵∠PDC=∠BDP,
∴當(dāng)DPC=∠DBP時(shí),△DPC∽△DBP,
而∠DPC=∠BAE,
∴∠BAE=∠ABP,
∴QA=QB,
設(shè)Q(t,0),則QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,
在Rt△BQE中,(4﹣t)2+32=t2,解得t= ,則Q( ,0),
設(shè)直線BQ的解析式為y=px+q,
把B(4,3),Q( ,0)代入得 ,解得 ,
∴直線BQ的解析式為y= x﹣ ,
解方程組 得 或 ,
∴P(﹣ ,﹣ ),
∴m=﹣ .
【解析】(1)①由直線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得a、b的值,則可求得拋物線解析式;②過(guò)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,在Rt△ABE中可求得sin∠ABE,則可求得sin∠ACP;(2)①用m可表示出C點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出PC的長(zhǎng),利用其正弦值可表示出PD的長(zhǎng),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;②作BM⊥PC,交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作DN⊥PC于點(diǎn)N,則可用m表示DN和BM,由面積的比得到DC與BC的比,然后利用相似比可得到m的方程,可求得m的值;③如圖2,連接PB交x軸于Q,只有當(dāng)DPC=∠DBP時(shí),△DPC∽△DBP,于是可證明QA=QB,設(shè)Q(t,0),則QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,利用勾股定理得到(4﹣t)2+32=t2 , 解得t= ,則Q( ,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BQ的解析式為y= x﹣ ,然后解方程組 得P點(diǎn)坐標(biāo),從而得到m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中AB=3,BC=4,∠B=90°,點(diǎn)B、C在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng).當(dāng)邊AC⊥x軸時(shí),點(diǎn)A剛好在雙曲線 上,此時(shí)下列結(jié)論不正確的是( )
A.點(diǎn)B為(0, )
B.AC邊的高為
C.雙曲線為
D.此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)O距離最大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o和x軸上一點(diǎn)A(4,0),拋物線頂點(diǎn)為E,它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(﹣2,m)且與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式;
(2)P(x,y)是拋物線上的一點(diǎn),若S△ADP=S△ADC , 求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā),沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若能,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c,滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
(1)試判斷△ABC的形狀.
(2)求AB邊上的高。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y= 與雙曲線y= (k>0,x>0)交于點(diǎn)A,將直線y= 向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y= (k>0,x>0)交于點(diǎn)B,若OA=3BC,則k的值為( 。
A.3
B.6
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀并填空:
尋求某些勾股數(shù)的規(guī)律:
⑴對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后,就得到了一組新的勾股數(shù).例如:,我們把它擴(kuò)大2倍、3倍,就分別得到和,……若把它擴(kuò)大11倍,就得到 ,若把它擴(kuò)大n倍,就得到 .
⑵對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù),存在著下列勾股數(shù):
若勾股數(shù)為3,4,5,因?yàn),則有;
若勾股數(shù)為5,12,13,則有;
若勾股數(shù)為7,24,25,則有 ;……
若勾股數(shù)為m(m為奇數(shù)),n, ,則有m2= ,用m來(lái)表示n= ;
當(dāng)m=17時(shí),則n= ,此時(shí)勾股數(shù)為 .
⑶對(duì)于大于4的偶數(shù):
若勾股數(shù)為6,8,10,因?yàn)?/span>,則有……請(qǐng)找出這些勾股數(shù)之間的關(guān)系,并用適當(dāng)?shù)淖帜副硎境鏊囊?guī)律來(lái),并求當(dāng)偶數(shù)為24的勾股數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)生產(chǎn)部有技術(shù)工人15人,生產(chǎn)部為了合理制定產(chǎn)品的每月生產(chǎn)定額,統(tǒng)計(jì)了這15人某月的加工零件個(gè)數(shù):
每人加工零件個(gè)數(shù) | 540 | 450 | 300 | 240 | 210 | 120 |
人數(shù) | 1 | 1 | 2 | 6 | 3 | 2 |
(1)寫(xiě)出這15人該月加工零件數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
(2)假如生產(chǎn)部負(fù)責(zé)人把每位工人的月加工零件個(gè)數(shù)定為260,你認(rèn)為這個(gè)定額是否合理?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動(dòng)點(diǎn),且距離為2,點(diǎn)C為二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)△ABC的面積最?求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC面積的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,OH⊥AB于點(diǎn)H,點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn),若AB=2 ,OH=1,則∠APB的度數(shù)是 .
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