【題目】 在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C,已知A-1,0),C0,3).

1)求拋物線的解析式;

2)如圖1,P為線段BC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Py軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)CDP為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)如圖2,拋物線的頂點(diǎn)為E,EFx軸于點(diǎn)F,N是直線EF上一動(dòng)點(diǎn),Mm,0)是x軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出CN+MN+MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)當(dāng)CDP為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12)或(2,1)或(3-,);(3)CN+MN+MB的最小值為,N坐標(biāo)為(1,3-),M坐標(biāo)為(,0).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;

2)由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式,再設(shè)Pt,3-t),即可得Dt,-t2+2t+3),即可求得PD的長(zhǎng),然后分三種情況討論,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)如圖2,構(gòu)造BGx軸成30°角,將MB轉(zhuǎn)化為線段MBG的距離,從而可知CM、N、B′在同一條直線上時(shí),CN+MN+MB取最小值,根據(jù)CG的長(zhǎng)和∠CGB=60°即可求出最小值.根據(jù)直線BG求出直線CB′解析式,即求出MN坐標(biāo).

解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、BC,把A-1,0),C0,3)代入解析式得,

,

解得b=2,c=3

故該拋物線解析式為:y=-x2+2x+3

2)令-x2+2x+3=0,

解得x1=-1x2=3,

B30),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′,

,

解得:

故直線BC的解析式為y=-x+3;

∴設(shè)Pt,3-t),

Dt,-t2+2t+3),

PD=-t2+2t+3-3-t=-t2+3t,

OB=OC=3,

∴△BOC是等腰直角三角形,

∴∠OCB=45°,

當(dāng)CD=PC時(shí),則∠CPD=CDP

PDy軸,

∴∠CPD=OCB=45°,

∴∠CDP=45°,

∴∠PCD=90°,

∴直線CD的解析式為y=x+3,

,

D1,4),

此時(shí)P1,2);

當(dāng)CD=PD時(shí),則∠DCP=CPD=45°,

∴∠CDP=90°,

CDx軸,

D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3

代入y=-x2+2x+3得,3=-x2+2x+3

解得x=0x=2,

此時(shí)P21);

當(dāng)PC=PD時(shí),∵PC=t

t=-t2+3t,

解得t=0t=3-

此時(shí)P3-,);

綜上,當(dāng)CDP為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12)或(2,1)或(3-).

3CN+MN+MB的最小值為,N坐標(biāo)為(1,3-),M坐標(biāo)為(,0).

理由如下:

如圖,取G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-),連接BG

B3,0),

∴直線BG解析式為:y=,

tanGBO=30°

過(guò)M點(diǎn)作MB′BG,∴,

CN+MN+MB=CN+MN+B′M

CN+MN+MB取最小值時(shí),C、M、N、B′在同一條直線上,

CB′BG,

設(shè)直線CB′解析式為,∵C0,3

故直線CB′解析式為為,

∵拋物線的頂點(diǎn)為E坐標(biāo)為(1,4),EFx軸,NEF、CB′上,

N坐標(biāo)為(1,3-),

Mm,0)是x軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn),也是CB′x軸交點(diǎn),

M0).

CG=3+,∠CGB=60°

CB′=CGsinCGB=3+×=,

綜上所述:CN+MN+MB的最小值為,N坐標(biāo)為(13-),M坐標(biāo)為(,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,EBC上,GCD延長(zhǎng)線上,AEBG相交于點(diǎn)M,若AEBG,tanBME2,菱形ABCD面積為,則AB的長(zhǎng)_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義:如果一元二次方程滿(mǎn)足a+b+c=0,我們稱(chēng)這個(gè)方程為鳳凰方程.已知是鳳凰方程,且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則下列正確的是( 。

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,CD是邊AB上的中線,∠B是銳角,sinB=,tanA=,AC=

(1)求∠B 的度數(shù)和 AB 的長(zhǎng).

(2)求 tan∠CDB 的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】 鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)為了解學(xué)生課下閱讀所用時(shí)間的情況,從各年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽查了一部分學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì),下面是針對(duì)此次統(tǒng)計(jì)所制作的不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題:

組別

時(shí)間段(小時(shí))

頻數(shù)

頻率

1

0≤x0.5

10

0.05

2

0.5≤x1.0

20

0.10

3

1.0≤x1.5

80

b

4

1.5≤x2.0

a

0.35

5

2.0≤x2.5

12

0.06

6

2.5≤x3.0

8

0.04

1)表中a=______b=______

2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)樣本中,學(xué)生日閱讀所用時(shí)間的中位數(shù)落在第______組;

4)該校共有學(xué)生3000人,請(qǐng)估計(jì)學(xué)生日閱讀量不少于1.5小時(shí)的人數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0)B(30)兩點(diǎn).

1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)若px軸上方拋物線上一點(diǎn),且三角形PAB面積為20,求P點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,二次函數(shù)yax22ax3aa0)的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);

2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

②如圖2,點(diǎn)Ey軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點(diǎn)PM、N分別和點(diǎn)O、B、E對(duì)應(yīng)),并且點(diǎn)MN都在拋物線上,作MFx軸于點(diǎn)F,若線段MFBF12,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);

③點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,以Q為圓心的圓過(guò)AB兩點(diǎn),并且和直線CD相切,如圖3,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱(chēng)這個(gè)三角形為好玩三角形.若RtABC是好玩三角形,且∠C90°,BC≥AC,則sinB_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,某校教學(xué)樓與實(shí)驗(yàn)樓的水平間距米,在實(shí)驗(yàn)樓頂部點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部點(diǎn)的仰角是,底部點(diǎn)的俯角是,則教學(xué)樓的高度是____米(結(jié)果保留根號(hào)).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案