Question

【題目】（1）如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對(duì)角線BD上，折痕為BE，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，若∠ADB=54°，則∠DBE的度數(shù)為 °．

（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9．（畫一畫）如圖2，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段MN描清楚）；

（3）（算一算）如圖3，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B'處，若AG=，求B'D的長(zhǎng)；

（4）（驗(yàn)一驗(yàn)）如圖4，點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B'處，小明認(rèn)為B'I所在直線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，他的判斷是否正確，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）27；（2）見解析；（3）3；（4）判斷不正確，見解析

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；
（2）如圖2中，延長(zhǎng)BA交CE的延長(zhǎng)線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；
（3）首先證明DG＝DF，理由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′＝FB，由此即可解決問題；
（4）由△CDK∽△IB′C，推出，即，設(shè)CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，由折疊可知，IB＝IB′＝4k，可知BC＝BI＋IC＝4k＋5k＝9，推出k＝1，推出IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝，連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝，由此即可判斷tan∠B′IC≠tan∠DIC，推出B′I所在的直線不經(jīng)過點(diǎn)D；

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝54°，
由翻折不變性可知，∠DBE＝∠EBC＝∠DBC＝27°，
故答案為27．
（2）如圖2中，折痕MN為所求：

（3）∵AG＝，AD＝9，
∴GD＝9=，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF＝∠BFG，
由翻折不變性可知，∠BFG＝∠DFG，
∴∠DFG＝∠DGF，
∴DF＝DG＝，
∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∴在Rt△CDF中，CF＝，
∴BF＝BCCF＝9-=，
由翻折不變性可知，FB＝FB′＝，
∴DB′＝DFFB′＝．
（4）小明的判斷不正確．

理由：如圖4中，連接ID，在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4，
∴CK＝，
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠ICK，
由折疊可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，
∴∠IB′C＝90°＝∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴，即，
設(shè)CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，
由折疊可知，IB＝IB′＝4k，
∴BC＝BI＋IC＝4k＋5k＝9，
∴k＝1，
∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝，
連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，

∴∠B′IC≠∠DIC，
∴B′I所在的直線不經(jīng)過點(diǎn)D．