【題目】如圖,已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=-x2+bx+c經過A,B兩點,點P在線段OA上,從點O出發(fā),向點A以1個單位/秒的速度勻速運動;同時,點Q在線段AB上,從點A出發(fā),向點B以個單位/秒的速度勻速運動,連接PQ,設運動時間為t秒.
(1)求拋物線的解析式;
(2)問:當t為何值時,△APQ為直角三角形;
(3)過點P作PE∥y軸,交AB于點E,過點Q作QF∥y軸,交拋物線于點F,連接EF,當EF∥PQ時,求點F的坐標;
(4)設拋物線頂點為M,連接BP,BM,MQ,問:是否存在t的值,使以B,Q,M為頂點的三角形與以O,B,P為頂點的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)t=1或t=;(3)點F的坐標為(2,3).(4).
【解析】
試題(1)先由直線AB的解析式為y=-x+3,求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標,再將A、B兩點的坐標代入y=-x2+bx+c,運用待定系數法即可求出拋物線的解析式;
(2)由直線與兩坐標軸的交點可知:∠QAP=45°,設運動時間為t秒,則QA=t,PA=3-t,然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數值列出關于t的方程求解即可;
(3)設點P的坐標為(t,0),則點E的坐標為(t,-t+3),則EP=3-t,點Q的坐標為(3-t,t),點F的坐標為(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),則FQ=3t-t2,EP∥FQ,EF∥PQ,所以四邊形為平行線四邊形,由平行四邊形的性質可知EP=FQ,從而的到關于t的方程,然后解方程即可求得t的值,然后將t=1代入即可求得點F的坐標;
(4)設運動時間為t秒,則OP=t,BQ=(3-t),然后由拋物線的解析式求得點M的坐標,從而可求得MB的長度,然后根據相似相似三角形的性質建立關于t的方程,然后即可解得t的值.
試題解析:(1)∵y=-x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴當y=0時,x=3,即A點坐標為(3,0),
當x=0時,y=3,即B點坐標為(0,3),
將A(3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,
得,解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)∵OA=OB=3,∠BOA=90°,
∴∠QAP=45°.
如圖①所示:∠PQA=90°時,設運動時間為t秒,則QA=t,PA=3-t.
在Rt△PQA中,,即:,解得:t=1;
如圖②所示:∠QPA=90°時,設運動時間為t秒,則QA=t,PA=3-t.
在Rt△PQA中,,即:,解得:t=.
綜上所述,當t=1或t=時,△PQA是直角三角形;
(3)如圖③所示:
設點P的坐標為(t,0),則點E的坐標為(t,-t+3),則EP=3-t,點Q的坐標為(3-t,t),點F的坐標為(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),則FQ=3t-t2.
∵EP∥FQ,EF∥PQ,
∴EP=FQ.即:3-t=3t-t2.
解得:t1=1,t2=3(舍去).
將t=1代入F(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),得點F的坐標為(2,3).
(4)如圖④所示:
設運動時間為t秒,則OP=t,BQ=(3-t).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴點M的坐標為(1,4).
∴MB=.
當△BOP∽△QBM時,即:,整理得:t2-3t+3=0,
△=32-4×1×3<0,無解:
當△BOP∽△MBQ時,即:,解得t=.
∴當t=時,以B,Q,M為頂點的三角形與以O,B,P為頂點的三角形相似.
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【題目】如圖,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起,重疊的部分為四邊形ABCD,若測得A,C之間的距離為6cm,點B,D之間的距離為8cm,則線段AB的長為( 。
A.5 cmB.4.8 cmC.4.6 cmD.4 cm
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點P是以C(﹣,)為圓心,1為半徑的⊙C上的一個動點,已知A(﹣1,0),B(1,0),連接PA,PB,則PA2+PB2的最小值是_____.
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【題目】如圖為二次函數y=ax2+bx+c的圖象,在下列說法中:①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c<0;④當x>1時,y隨x的增大而減;⑤2a﹣b=0;⑥b2﹣4ac>0.下列結論一定成立的是( )
A. ①②④⑥ B. ①②③⑥ C. ②③④⑤⑥ D. ①②③④
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【題目】對于二次函數有下列說法:①如果m=2,則y有最小值3;②如果當x=1時的函數值與x=2018時的函數值相等,則當x=2019時的函數值是3;③如果m>0,則當時y隨x的增大而減小,則④如果該二次函數有最小值T,則T的最大值是1,其中正確的說法是________.
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【題目】如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A(﹣1,0),點B(3,0),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點,連接AD,BD.
(1)直接寫出點C、D的坐標;
(2)求△ABD的面積;
(3)點P是拋物線上的一動點,若△ABP的面積是△ABD面積的,求點P的坐標.
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【題目】在學校舉辦的“弘揚社會主義核心價值觀”為主題的演講比賽中,甲、乙兩隊各10人的比賽成績如下表(10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊成績的中位數是 分,乙隊成績的眾數是 分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4,則成績較為整齊的是 隊.
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【題目】南京某特產專賣店的銷售某種特產,其進價為每千克40元,若按每千克60元出售,則平均每天可售出100千克,后來經過市場調查發(fā)現,單價每降低3元,平均每天的銷售量增加30千克,若專賣店銷售這種特產想要平均每天獲利2240元,且銷量盡可能大,則每千克特產應定價多少元?
(1)方法1:設每千克特產應降價x元,由題意,得方程為:___.
方法2:設每千克特產降價后定價為x元,由題意,得方程為:___.
(2)請你選擇一種方法完成解答.
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【題目】如圖,直線l1的解析式是,直線l2的解析式是,點A1在l1上,A1的橫坐標為,作交l2于點B1,點B2在l2上,以B1A1,B1B2為鄰邊在直線l1,l2間作菱形A1B1B2C1,分別以點A1,B2為圓心,以A1B1為半徑畫弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1,記扇形B1A1C1與扇形B1B2C1重疊部分的面積為S1;延長B2C1交l1于點A2,點B3在l2上,以B2A2,B2B3為鄰邊在l1,l2間作菱形A2B2B3C2,分別以點A2,B3為圓心,以A2B2為半徑畫弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2,記扇形B2A2C2與扇形B2B3C2重疊部分的面積為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)作下去,則________.(用含有正整數n的式子表示)
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