【題目】有兩張相同的矩形紙片ABCDA′B′C′D′,其中AB=3,BC=8.

(1)若將其中一張矩形紙片ABCD沿著BD折疊,點A落在點E處(如圖1),設(shè)DEBC相交于點F,求BF的長;

(2)若將這兩張矩形紙片交叉疊放(如圖2),判斷四邊形MNPQ的形狀,并證明.四邊形MNPQ的最大面積是_________.(直接寫出結(jié)果)

【答案】①BF=

【解析】試題分析:

(1)由折疊的性質(zhì)結(jié)合AD∥BC易得∠FBD=∠ADB=∠FDB,由此可得BF=DF,設(shè)BF=x,結(jié)合DE=AD=BC=8,可得EF=8-x,結(jié)合BE=AB=3,在Rt△BEF中由勾股定理建立方程即可求得BF的值;

(2)①如圖3,過點QQE⊥PN于點E,過點NNF⊥PQ于點F,則易證△QEP≌△NFP,從而可得PQ=PN,由已知條件易證四邊形MNPQ是平行四邊形,兩者結(jié)合即可得到四邊形MNPQ是菱形;

如圖4,由題意可知,菱形MNPQ邊上的高是3,故當(dāng)邊長越長時,面積越大,由題意可知,當(dāng)點M與點A重合、點P與點C重合時,邊長MQ=AQ=QC,此時面積最大,Rt△ABQ中,由勾股定理建立方程解出MQ的長,即可求得最大面積了.

試題解析

(1)∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,AD=BC=8,

∴∠ADB=∠DBC,

由折疊的性質(zhì)可知,∠ADB=∠FDB,BE=AB=3DE=AD=8,

∴∠DBC=∠FDB,

∴BF=DF,

設(shè)BF=x,則DF=x,

∴EF=8-x,

Rt△BEF中,BF2=BE2+EF2,

解得 ;

(2)①如圖2,四邊形MNPQ是菱形,理由如下:

過點QQE⊥PN于點E,過點NNF⊥PQ于點F

∴∠PEQ=∠PFN=90°,

∵兩張紙條等寬,

∴NF=QE,

∵∠NPF=∠QPE

∴△QEP≌△NFP,

∴PQ=PN,

由題意可得:MN∥PQ,MQ∥NP,

四邊形MNPQ是平行四邊形,

四邊形MNPQ是菱形;

如圖4,由題意和可知,菱形MNPQ邊上的高是3,故當(dāng)菱形MNPQ的邊長越長時,其面積越大,由圖4可知,當(dāng)點M與點A重合、點P與點C重合時,邊長MQ=AQ=QC,此時面積最大,

設(shè)AQ=QP=a,則BQ=BC-QC=8-a,

Rt△ABQ中,AQ2=AB2+BQ2

,解得: ,

菱形MNPQ的最大面積為: .

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進(jìn)價(元/只)

售價(元/只)

甲種節(jié)能燈

30

40

甲種節(jié)能燈

35

50

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