Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F為BD中點(diǎn).

（1）若過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1．設(shè)，則k =       ；
（2）若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

（1）k=1（2）證明，則可得. （3）當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的
三等分點(diǎn)時(shí)，線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為

試題分析：解：（1）k=1；                                                              .                    
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q.

由題意，tan∠BAC=，
∴.
∵D、E、B三點(diǎn)共線，
∴AE⊥DB.
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,
∴∠QBC=∠EAQ.
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG.
∴.
∴.
∴GB=DE.
∵F是BD中點(diǎn)，
∴F是EG中點(diǎn).
在中，,
∴.                        .                      .                
（3）情況1：如圖，當(dāng)AD=時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,
∴AC=12，AB=.
∵M為AB中點(diǎn)，∴CM=,
∵AD=，
∴AD=.
∵M為AB中點(diǎn)，F為BD中點(diǎn)，
∴FM== 2.
∴當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，此時(shí)CF=CM+FM=.
情況2：如圖，當(dāng)AD=時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MF和CM，

類似于情況1，可知CF的最大值為.             
.                      6分
綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的
三等分點(diǎn)時(shí)，線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為  
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。主要考查學(xué)生對(duì)綜合型幾何題的掌握與靈活運(yùn)用。這類題型需要學(xué)生多培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，多做訓(xùn)練來(lái)提高題感和反應(yīng)能力，為中考�？碱}型，要牢固掌握。