【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+b都經(jīng)過A0,-3)、B3,0)兩點,該拋物線的頂點為C

1)求此拋物線和直線AB的解析式;

2)設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E,在射線EB上是否存在一點M,過Mx軸的垂線交拋物線于點N,使點M、N、CE是平行四邊形的四個頂點?若存在,求點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

3)設(shè)點P是直線AB下方拋物線上的一動點,當(dāng)PAB面積最大時,求點P的坐標(biāo),并求PAB面積的最大值.

【答案】(1) 拋物線的解析式為y=x2-2x-3,直線AB的解析式為y=x-3;(2) M點的坐標(biāo)為(2,-1)或();(3) 當(dāng)m=時,PAB面積的最大值是,此時P點坐標(biāo)為(,).

【解析】

1)將A0-3)、B30)兩點坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)解析式即可求解;

2)先求出C點坐標(biāo)和E點坐標(biāo),則CE=2,分兩種情況討論:①若點Mx軸下方,四邊形CEMN為平行四邊形,則CE=MN,②若點Mx軸上方,四邊形CENM為平行四邊形,則CE=MN,設(shè)Ma,a-3),則Na,a2-2a-3),可分別得到方程求出點M的坐標(biāo);

3)如圖,作PGy軸交直線AB于點G,設(shè)Pmm2-2m-3),則Gm,m-3),可由SPABPGOB,得到m的表達(dá)式,利用二次函數(shù)求最值問題配方即可.

1)∵拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過A0,-3)、B3,0)兩點,

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3,

∵直線y=kx+b經(jīng)過A0,-3)、B3,0)兩點,

,解得:,

∴直線AB的解析式為y=x-3,

2)∵y=x2-2x-3=x-12-4,

∴拋物線的頂點C的坐標(biāo)為(1-4),

CEy軸,

E1,-2),

CE=2,

①如圖,若點Mx軸下方,四邊形CEMN為平行四邊形,則CE=MN

設(shè)Ma,a-3),則Na,a2-2a-3),

MN=a-3-a2-2a-3=-a2+3a

-a2+3a=2,

解得:a=2,a=1(舍去),

M2,-1),

②如圖,若點Mx軸上方,四邊形CENM為平行四邊形,則CE=MN,

設(shè)Ma,a-3),則Na,a2-2a-3),

MN=a2-2a-3-a-3=a2-3a,

a2-3a=2,

解得:a=,a=(舍去),

M),

綜合可得M點的坐標(biāo)為(2-1)或(,).

3)如圖,作PGy軸交直線AB于點G

設(shè)Pmm2-2m-3),則Gmm-3),

PG=m-3-m2-2m-3=-m2+3m,

SPAB=SPGA+SPGB=PGOB×(m2+3m)×3=m2+m=- (m)2+,

∴當(dāng)m=時,PAB面積的最大值是,此時P點坐標(biāo)為(,).

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