【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,四邊形OBCD是矩形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),已知點(diǎn)E(m,0)是線段DO上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似?若存在,求出此時(shí)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,4),
∴ ,解得 ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+4
(2)
解:∵E(m,0),B(0,4),PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,
∴P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4),
∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m;
點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),故需要求出拋物線與直線BC的交點(diǎn),
令4=﹣ m2﹣ m+4,解得m=﹣2或0,
即m的取值范圍:﹣2<m<0,
PG的長(zhǎng)度為:﹣ m2﹣ m(﹣2<m<0)
(3)
解:在(2)的條件下,存在點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似.
∵y=﹣ x2﹣ x+4,
∴當(dāng)y=0時(shí),﹣ x2﹣ x+4=0,
解得x=1或﹣3,
∴D(﹣3,0).
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),﹣2<m<0.
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4,
將D(﹣3,0)代入,得﹣3k+4=0,
解得k= ,
∴直線BD的解析式為y= x+4,
∴H(m, m+4).
分兩種情況:
①如果△BGP∽△DEH,那么 ,
即 = ,
解得m=﹣3或﹣1,
由﹣2<m<0,故m=﹣1;
②如果△PGB∽△DEH,那么 ,
即 = ,
由﹣2<m<0,解得m=﹣ .
綜上所述,在(2)的條件下,存在點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似,此時(shí)m的值為﹣1或﹣ .
【解析】(1)將A(1,0),B(0,4)代入y=﹣ x2+bx+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)由E(m,0),B(0,4),得出P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4),則PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m,點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),故需要求出m的取值范圍;(3)先由拋物線的解析式求出D(﹣3,0),則當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),﹣2<m<0.再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y= x+4,于是得出H(m, m+4).當(dāng)以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似時(shí),由于∠PGB=∠DEH=90°,所以分兩種情況進(jìn)行討論:①△BGP∽△DEH;②△PGB∽△DEH.都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例關(guān)系式,進(jìn)而求出m的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=40°,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,∠DBC=30°,若AB=m,BC=n,則△DBC的周長(zhǎng)為 .
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【題目】甲、乙兩人以相同路線前往距離單位10km的培訓(xùn)中心參加學(xué)習(xí).圖中l甲、l乙分別表示甲、乙兩人前往目的地所走的路程S(km)隨時(shí)間t(分)變化的函數(shù)圖象.以下說(shuō)法:
①乙比甲提前12分鐘到達(dá);
②甲的平均速度為15千米/小時(shí);
③乙走了8km后遇到甲;
④乙出發(fā)6分鐘后追上甲.
其中正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、B兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)A以每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B以每秒y個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng).
(1)若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,試分別求出1秒鐘后A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)∠BAO的外角和∠ABO的外角的平分線相交于點(diǎn)P,問(wèn):點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出其值;若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC的各邊都延長(zhǎng)一倍至A′、B′、C′,連接這些點(diǎn),得到一個(gè)新的三角形△A′B′C′,若△ABC的面積為1,則△A′B′C′的面積是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1)將△ABD平移,使D沿BD延長(zhǎng)線移至C得到△A′B′D′,A′B′交AC于E,AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B′EC與∠A′之間的關(guān)系,并寫(xiě)出理由.
(2)如圖將△ABD平移至如圖(2)所示,得到△A′B′D′,請(qǐng)問(wèn):A′D平分∠B′A′C嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.
(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:
(3,27)=_______,(5,1)=_______,(2, )=_______.
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象:(3n,4n)=(3,4)小明給出了如下的證明:
設(shè)(3n,4n)=x,則(3n)x=4n,即(3x)n=4n
所以3x=4,即(3,4)=x,
所以(3n,4n)=(3,4).
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說(shuō)明下面這個(gè)等式成立的理由:(4,5)+(4,6)=(4,30)
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