【題目】如圖,已知在△ABP中,C是BP邊上一點,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且交BP于點E.

(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)過點C作CF⊥AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AGAB=12,求AC的長;

(3)在滿足(2)的條件下,若AF:FD=1:2,GF=1,求⊙O的半徑及sin∠ACE的值.

【答案】
(1)

解:證明:連接CD,

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ACD=90°,

∴∠CAD+∠ADC=90°,

又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,

∴∠PAC=∠ADC,

∴∠CAD+∠PAC=90°,

∴PA⊥OA,而AD是⊙O的直徑,

∴PA是⊙O的切線


(2)

解:由(1)知,PA⊥AD,又∵CF⊥AD,∴CF∥PA,

∴∠GCA=∠PAC,又∵∠PAC=∠PBA,

∴∠GCA=∠PBA,而∠CAG=∠BAC,

∴△CAG∽△BAC,

= ,

即AC2=AGAB,

∵AGAB=12,

∴AC2=12,

∴AC=2


(3)

解:設(shè)AF=x,∵AF:FD=1:2,∴FD=2x,

∴AD=AF+FD=3x,

在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AFAD,

即3x2=12,

解得;x=2,

∴AF=2,AD=6,∴⊙O半徑為3,

在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,

根據(jù)勾股定理得:AG= = = ,

由(2)知,AGAB=12,

∴AB= = ,

連接BD,

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ABD=90°,

在Rt△ABD中,∵sin∠ADB= ,AD=6,

∴sin∠ADB= ,

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,

∴sin∠ACE=


【解析】(1)根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案;(2)首先得出△CAG∽△BAC,進而得出AC2=AGAB,求出AC即可;(3)先求出AF的長,根據(jù)勾股定理得:AG= ,即可得出sin∠ADB= ,利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可.

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點M(﹣1,2)和點N(1,﹣2),交x軸于A,B兩點,交y軸于C,則:
①a+c=0;
②無論a取何值,此二次函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點,函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度必大于2;
③當(dāng)函數(shù)在x< 時,y隨x的增大而減;
④當(dāng)﹣1<m<n<0時,m+n<
⑤若a=1,則OAOB=OC2
以上說法正確的有( )
A.①②③④⑤
B.①②④⑤
C.②③④
D.①②③⑤

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(1)求證: = ;
(2)設(shè)EF的長為x.
①當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ為正方形?
②當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值.

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(1)求線段OP對應(yīng)的yx的函數(shù)關(guān)系式(不必注明自變量x的取值范圍);

(2)求yx的函數(shù)關(guān)系式以及A,B兩地之間的距離;

(3)請從A,B兩題中任選一題作答,我選擇   題.

A.直接寫出經(jīng)過多少小時,甲、乙兩人相距3km;

B.設(shè)甲、乙兩人的距離為s(km),直接寫出sx的函數(shù)關(guān)系式,并注明x的取值范圍.

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