【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A.B兩點,且A點坐標(biāo)為(3,0),經(jīng)過B點的直線y=x-1交拋物線于點D.
(1)求B點坐標(biāo)和拋物線的解析式
(2)點D的坐標(biāo)
(3)過x軸上點E(a,0)(E點在B點的右側(cè))作直線EF∥BD,交拋物線于點F,是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形?如果存在,求出滿足條件的a;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2+2x3,(1,0);(2)點D坐標(biāo)(-2,-3);(3)存在實數(shù)a=3,使四邊形BDFE是平行四邊形
【解析】
(1)設(shè)拋物線為y=x2+bx+c,求出B點的坐標(biāo),把點A(3,0),B(1,0)代入解析式中求出 b,c的值即可求出拋物線的解析式;
(2)求出拋物線與直線y=x-1的交點,然后把x=-2代入直線y=x-1即可求出D的坐標(biāo);
(3)得到用a表示的EF的解析式,跟二次函數(shù)解析式組成方程組,得到含y的一元二次方程,進而根據(jù)y=-3求得合適的a的值即可.
(1) B點在直線y=x-1上
令y=0,則x=1
∴B的坐標(biāo)為(1,0)
由題意知將A(3,0),B(1,0)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得,
,
解得: ,
∴y=x2+2x3
(2)由(1)知y=x2+2x3,
得:
解得:
∴D坐標(biāo)(-2,y)
∵直線B的解析式為y=x-1,
解得:y=-3
∴點D坐標(biāo)(-2,-3)
(3)如圖:
∵直線B的解析式是y=x1,且EF∥BD,
∴直線EF的解析式為:y=xa,
若四邊形BDFE是平行四邊形,
則DF∥x軸,
∴D、F兩點的縱坐標(biāo)相等,即點F的縱坐標(biāo)為3.
由 ,
由②得,x=y+a,代入方程①得,
y2+(2a+1)y+a2+2a3=0,
解得:
令=-3
解得:a1=1,a2=3.
當(dāng)a=1時,E點的坐標(biāo)(1,0),這與B點重合,舍去;
∴當(dāng)a=3時,E點的坐標(biāo)(3,0),符合題意。
∴存在實數(shù)a=3,使四邊形BDFE是平行四邊形.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=x﹣2與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)觀察圖象,直接寫出一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍;
(3)坐標(biāo)原點為O,求△AOB的面積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù) y=ax2+bx+2 的圖象與 x 軸交于 A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與 y 軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式 ,x 滿足什么值時 y﹤0 ?
(2)點 p 是直線 AC 上方的拋物線上一動點,是否存在點 P,使△ACP 面積最大?若存在,求出點 P的坐標(biāo);若不存在,說明理由
(3)點 M 為拋物線上一動點,在 x 軸上是否存在點 Q,使以 A、C、M、Q 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點 Q 的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】閱讀下列材料,解決材料后的問題:
材料一:對于實數(shù)x、y,我們將x與y的“友好數(shù)”用f(x,y)表示,定義為:f(x)=,例如17與16的友好數(shù)為f(17,16)==.
材料二:對于實數(shù)x,用[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),即滿足條件[x]≤x<[x]+1,例如:
[﹣1.5]=[﹣1.6]=﹣2,[0]=[0.7]=0,[2.2]=[2.7]=2,……
(1)由材料一知:x2+2與1的“友好數(shù)”可以用f(x2+2,1)表示,已知f(x2+2,1)=2,請求出x的值;
(2)已知[a﹣1]=﹣3,請求出實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知實數(shù)x、m滿足條件x﹣2[x]=,且m≥2x+,請求f(x,m2﹣m)的最小值.
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【題目】如圖,將頂點為P(1,-2),且過原點的拋物線y的一部分沿x軸翻折并向右平移2個單位長度,得到拋物線y1,其頂點為P1,然后將拋物線y1沿x軸翻折并向右平移2個單位長度,得到拋物線y2,其頂點為P2;,如此進行下去,直至得到拋物線y2019,則點P2019坐標(biāo)為 _______.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=6,E為CD上一動點,AE交BD于F,過F作FH⊥AE交BC于點H,過H作HG⊥BD于G,連結(jié)AH.在以下四個結(jié)論中:①AF=HE;②∠HAE=45°;③FC=2;④△CEH的周長為12.其中正確的結(jié)論有_____.
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【題目】關(guān)于的一元二次方程,給出下列說法:①若,則方程必有兩個實數(shù)根;②若,則方程必有兩個實數(shù)根;③若,則方程有兩個不相等的實數(shù)根;④若,則方程一定沒有實數(shù)根.其中說法正確的序號是( )
A. ①②③B. ①②④
C. ①③④D. ②③④
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【題目】如圖,直線與x軸交于點M,與y軸交于點A,過點A作,交x軸于點B,以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABCA1,延長A1C交x軸于點B1,以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1C1A2…按照此規(guī)律繼續(xù)作下去,再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形,每個小正方形的每條邊都與其中的一條坐標(biāo)軸平行,正方形ABCA1,A1B1C1A2,…,中的陰影部分的面積分別為S1,S2,…,Sn,則Sn可表示為_____.
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【題目】將矩形OABC如圖放置,O為原點,若點A的坐標(biāo)是(﹣1,2),點B的坐標(biāo)是(2,),則點C的坐標(biāo)是( 。
A. (4,2)B. (2,4)C. (,3)D. (3,)
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