Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點C與直線AD交于點A(1，2)，點D的坐標為(0，1)

(1)求直線AD的解析式；

(2)直線AD與x軸交于點B，請判斷△ABC的形狀；

(3)在直線AD上是否存在一點E，使得4S△BOD＝S△ACE，若存在求出點E的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x+1；(2)△ABC是等腰直角三角形；(3)存在，點E的坐標為(2，3)或(0，1)時，4S△BOD＝S△ACE．

【解析】

(1)利用待定系數法，即可得到直線AD的解析式；

(2)依據點的坐標求得AB＝2，AC＝2，BC＝4，即可得到AB2+AC2＝16＝BC2，進而得出△ABC是等腰直角三角形；

(3)依據4S△BOD＝S△ACE，即可得到AE＝，分兩種情況進行討論：①點E在直線AC的右側，②點E在直線AC的左側，分別依據AD＝AE＝，即可得到點E的坐標．

解：(1)直線AD的解析式為y＝kx+b，

∵直線AD經過點A(1，2)，點D(0，1)，

∴，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝x+1；

(2)∵y＝x+1中，當y＝0時，x＝﹣1；y＝﹣x+3中，當y＝0時，x＝3，

∴直線AD與x軸交于B(﹣1，0)，直線AC與x軸交于C(3，0)，

∵點A(1，2)，

∴AB＝2，AC＝2，BC＝4，

∵AB2+AC2＝16＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(3)存在，

AC＝2，S△BOD＝×1×1＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAE＝90°，

∵S△ACE＝AE×AC，4S△BOD＝S△ACE，

∴4×＝×AE×2，

解得AE＝，

①如圖，當點E在直線AC的右側時，過E作EF⊥y軸于F，

∵AD＝AE＝，∠EDF＝45°，

∴EF＝DF＝2，OF＝2+1＝3，

∴E(2，3)；

②當點E在直線AC的左側時，

∵AD＝AE＝，

∴點E與點D重合，即E(0，1)，

綜上所述，當點E的坐標為(2，3)或(0，1)時，4S△BOD＝S△ACE．