Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°∠ACB＝60°．將Rt△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△DEC(△DEC≌△ABC)，點E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180°得到△ABF，連接AD．

(1)求證：四邊形AFCD是菱形；

(2)連接BE并延長交AD于點G，連接CG．請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）)四邊形 ABCG 是矩形，見解析.

【解析】

（1）需證明△ACD是等邊三角形、△AFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD是菱形.（2）先證明四邊形ABCG是平行四邊形，再由∠ABC=90°，可證四邊形ABCG是矩形。

解：(1) 證明：△DEC 是由 Rt△ABC 繞 C 點旋轉(zhuǎn)后得到．

∴AC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝60°．

∴△ACD 是等邊三角形，

∴AD＝DC＝AC．

又∵Rt△ABF 是由 Rt△ABC 沿 AB 所在直線翻轉(zhuǎn) 180°得到

∴AC＝AF，∠ABF＝∠ABC＝90°．

∴∠FBC 是平角，∴ 點 F、B、C 三點共線

∴△AFC 是等邊三角形

∴AF＝FC＝AC．

∴AD＝DC＝FC＝AF．

∴四邊形 AFCD 是菱形，

(2)四邊形 ABCG 是矩形．

證明：由(1)可知：△ACD 是等邊三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°．

∴DE⊥AC 于 E．∴AE＝EC．

∵四邊形 AFCD 是菱形，∴AG∥BC．

∴∠EAG＝∠ECB，∠AGE＝∠EBC．

∴△AEG≌△CEB，∴BE＝EG．

∴四邊形 ABCG 是平行四邊形．

而∠ACB＝90°，∴四邊形 ABCG 是矩形．