Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC， ，BC=4，DC=3，AD=6.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).

(1)設(shè)的面積為，直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式是____________（不寫(xiě)取值范圍）.

(2)當(dāng)B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求出此時(shí)的值.

(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2OA=OB時(shí)，直接寫(xiě)出=_____________.

(4)是否存在時(shí)刻，使得若存在，求出的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）；（4）

【解析】試題分析：

（1）由題意可得BQ=BC-CQ=4-t，點(diǎn)P到BC的距離=CD=3，由此結(jié)合三角形的面積公式即可得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，結(jié)合勾股定理和已知條件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三種情況列出方程，解方程得到對(duì)應(yīng)的t的值，再結(jié)合題中的條件檢驗(yàn)即可得到符合要求的t的值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易證得四邊形PMCD是矩形，由此可得PM=CD=3，CM=PD=2t，結(jié)合AD=6，BC=4，可得PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=t，由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ，結(jié)合2OA=OB即可求得t的值，從而可由tan∠BQP=求得其值；

（4）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則當(dāng)∠BDM=90°時(shí)，PQ⊥BD，即當(dāng)BM2=DM2+BD2時(shí)，PQ⊥BD，由此結(jié)合已知條件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表達(dá)出來(lái)，列出方程就可得解得t的值.

試題解析：

（1）由題意可得BQ=BC-CQ=4-t，點(diǎn)P到BC的距離=CD=3，

∴S△PBQ=BQ×3=；

（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，

∴∠PHB=∠PHQ=90°，

∵∠C=90°，AD∥BC，

∴∠CDP=90°，

∴四邊形PHCD是矩形，

∴PH=CD=3，HC=PD=2t，

∵CQ=t，BC=4，

∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，

∴BQ2=，BP2= ，PQ2=，

由BQ2=BP2可得： ，解得：無(wú)解；

由BQ2=PQ2可得： ，解得： ；

由BP2= PQ2可得： ，解得： 或，

∵當(dāng)時(shí)，BQ=4-4=0，不符合題意，

∴綜上所述， 或；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴∠PMC=∠C=90°，

∵AD∥BC，

∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，

∴四邊形PMCD是矩形， ，

∴PM=CD=3，CM=PD=2t，

∵AD=6，BC=4，CQ=t，

∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,

∴，解得： ，

∴MQ= ，

又∵PM=3，∠PMQ=90°，

∴tan∠BPQ=；

（4）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則當(dāng)∠BDM=90°時(shí)，PQ⊥BD，即當(dāng)BM2=DM2+BD2時(shí)，PQ⊥BD，

∵AD∥BC，DM∥PQ，

∴四邊形PQMD是平行四邊形，

∴QM=PD=2t，

∵QC=t,

∴CM=QM-QC=t，

∵∠BCD=∠MCD=90°，

∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，

∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，

∴由BM2=BD2+DM2可得： ，解得： ，

∴當(dāng)時(shí)，∠BDM=90°，

即當(dāng)時(shí)，PQ⊥BD.