Question

（2013•宜興市一模）如圖，已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2

3

），（-1，0），（3，0），點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合），連接PB、PD，則△PBD周長(zhǎng)的最小值是（　�。�

• A．2

  7

  +2
• B．3

  2

  +2
• C．4

  3

• D．2

  5

  +3

Answer 1

分析：首先根據(jù)給出的點(diǎn)的坐標(biāo)判定三角形ABC是等邊三角形，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長(zhǎng)就是PB+PD的最小值，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED與AC的交點(diǎn)G時(shí)，△PBD的周長(zhǎng)最�。�

解答：解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長(zhǎng)就是PB+PD的最小值，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED與AC的交點(diǎn)G時(shí)，△PBD的周長(zhǎng)最�。�
∵A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2

3

），（-1，0），（3，0），點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴AB=

12+4

=4，BC=4，AC=

12+4

=4，
∴△ABC是等邊三角形，
從點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，因?yàn)锽C=4，所以BD=2，
BE=2

42-22

=4

3

，
因?yàn)椤螪BF=30°，所以DF=

1

2

BD=1，BF=

3

，EF=BE-BF=4

3

-

3

=3

3

，DE=

DF2+EF2

=2

7

，
所以△PBD的周長(zhǎng)的最小值是2+2

7

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的靈活運(yùn)用，解本題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)膱D形，并且根據(jù)勾股定理求各邊長(zhǎng)．