Question

（2013•宜興市一模）如圖1，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點(diǎn)P是射線AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，設(shè)AP=x．
（1）CD的長(zhǎng)度是否隨著x的變化而變化？若變化，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng)度；若不變化，請(qǐng)求出線段CD的長(zhǎng)度．
（2）△PBC的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，△ABP和△CDP相似．  
（4）如圖2，當(dāng)以C為圓心，以CP為半徑的圓與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，延長(zhǎng)CB和PA，記交點(diǎn)為點(diǎn)Q．根據(jù)等腰△QPC“三合一”的性質(zhì)證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

AB

CD

=

QB

QC

=

1

2

，則CD=2AB；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC，垂足為F．證BF=BA=4．因?yàn)镃P≥CD，所以CP最小值為8，得出△PBC面積的最小值，此時(shí)△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，進(jìn)而得出答案；
（3）當(dāng)△BAP∽△CDP時(shí)，易得∠BPA=60°，x=AP=

BA

tan60°

=

4 3

3

，當(dāng)△BAP∽△PDC時(shí)，易得∠BPA=30°，AP=

BA

tan300

=4

3

，求出x的值即可；
（4）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，由（1）及垂徑定理得：AE=AD=DP=

1

2

x，進(jìn)而得出x的取值范圍．

解答：解：（1）CD的長(zhǎng)度不變化．
理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)CB和PA，記交點(diǎn)為點(diǎn)Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性質(zhì)）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴

AB

CD

=

QB

QC

=

1

2

∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC，垂足為F．
∵∠BPC=∠BPA，BA⊥MN，
∴BF=BA=4．
∵CP≥CD，∴CP≥8，即CP最小值為8，
∴△PBC面積的最小值=

1

2

×8×4=16，
此時(shí)△BAP是等腰三角形，AP=AB=4，即x=4；

（3）當(dāng)△BAP∽△CDP時(shí)，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=

BA

tan60°

=

4 3

3

，
即x=

4 3

3

，
如圖3，當(dāng)△BAP∽△PDC時(shí)，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=

BA

tan300

=4

3

，
即x=4

3

，
所以當(dāng)x=

4 3

3

或4

3

時(shí)，△ABP和△CDP相似；

（4）如圖4，延長(zhǎng)CB和PA相交于點(diǎn)E，
當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，由（1）及垂徑定理得：
AE=AD=DP=

1

2

x，
由△ABE∽△APB得，AB²=AE•AP，
所以  

1

2

x²=16，即x=4

2

，
所以x的取值范圍是0＜x≤4

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．