Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D，且與AB相切于點(diǎn)E．

（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖2，平移⊙O，使點(diǎn)O落在BD上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，BC與⊙O交于M，N，求MN2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接EO，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．

∵AB切○O于E，

∴EF⊥AB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴∠OFD=90°，

在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴⊙O的半徑為5

（2）解：如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD=8 ，OB=BD﹣OD=8 ﹣5，OP= =8﹣ ，

∴PN2=ON2﹣OP2=52﹣（8﹣ ）2=40 ﹣51.5，

∵M(jìn)N=2PN，

∴MN2=4PN2=4（40 ﹣51.5）=160 ﹣206

【解析】（1）連接EO，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)知EF⊥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及垂直的定義得出∠OFD=90°，在Rt△DOF中利用勾股定理列出方程求出解，即得到該圓的半徑；
（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，根據(jù)同圓的半徑相等得OD=ON=5，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OB,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出OP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出PN2=ON2﹣OP2，從而列出方程求出PN的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂徑定理得出MN的長(zhǎng)算出答案。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線(xiàn)平行（位置關(guān)系）這是平行線(xiàn)的判定；由平行線(xiàn)（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線(xiàn)的性質(zhì)；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．