Question

【題目】定義：如果一個四邊形的兩條對角線相等且相互垂直，則稱這個四邊形為“等垂四邊形”．

如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為“等垂四邊形．根據(jù)等垂四邊形對角線互相垂直的特征可得等垂四邊形的一個重要性質(zhì)：等垂四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息解答下列問題：

（1）矩形　 　“等垂四邊形”（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是等垂四邊形，若⊙O的半徑為6，∠ADC=60°，求四邊形ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是等垂四邊形，作OM⊥AD于M．請猜想OM與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1)不是；(2)54；(3)OM=BC.

【解析】

(1)矩形的對角線相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四邊形．

(2)連接OA，OC，過O作OH⊥AC于H，利用垂徑定理求出AC的長即可解決問題；

(3)連接OA，OB，OC，OD，過O作OE⊥BC于E，只要證明△OAM≌△BOE即可解決問題.

解：（1）矩形的對角線相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四邊形．

故答案為：不是；

（2）連接OA，OC，過O作OH⊥AC于H．

在△AOH中，∠AOH=∠ADC=60，OA=6，

∴AH=3，

∴AC=2AH=6，

∵四邊形ABCD是等垂四邊形，

∴AC=BD=6

∴S四邊形ABCD=ACBD=×6×6=54．

（3）連接OA，OB，OC，OD，過O作OE⊥BC于E，

顯然∠BOE=∠BAC，∠AOM=∠ABD，

∵BD⊥AC，

∴∠ABD﹢∠BAC=90，

∵∠AOM﹢∠OAM=90，

∴∠OAM=∠BOE，

在△OAM中與△BOE中，

∴△OAM≌△BOE，

∴OM=BE，

∵BE=BC，

∴OM=BC．

故答案為：(1)不是；(2)54；(3)OM=BC.