Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=x-3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，0)，B，C三點(diǎn),點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，OF=OA.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第一象限的拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足S△ABC=S△PBC，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)D是直線BC的下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E，①當(dāng)四邊形CDEF為平行四邊形時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)D，使CE與DF互相垂直平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;

(2) P（4,5）

（3）①D(1,-4)或（2,-3），

②存在D（2,-3），使CE與DF互相垂直平分,理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)直線解析式確定出B 、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，交拋物線于P點(diǎn)，P點(diǎn)滿足S△ABC=S△PBC，求出AP的解析式，然后與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，求解即可得；

（3）根據(jù)點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在拋物線上，設(shè)D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，則DE= -x2+3x，

①四邊形CDEF為平行四邊形可知DE=CF=2，解方程即可得；

②當(dāng)四邊形CDEF為正方形時(shí)，才有CE與DF互相垂直平分，據(jù)此即可得.

試題解析：(1)由直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于B、C兩點(diǎn)，則有B（3，0），C（0，-3），

由題意設(shè)拋物線得解析式為y=a(x+1)(x-3)，

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-3=-3a，

解得，a=1，

∴拋物線解析式為y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，交拋物線于P點(diǎn)，P點(diǎn)滿足S△ABC=S△PBC，

設(shè)直線AP的解析式為y=x+b，則0=-1+b，∴b=1，

∴直線AP的解析式為y=x+1，

由解得，

∴P（4，5）；

（3）易得F（0，-1），CF=2，

設(shè)D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，則DE=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x，

①令-x2+3x=2，解得x3=1，x4=2，

D(1，-4)或（2，-3），

②存在，

當(dāng)D（2，-3）時(shí)E（2，-1），EF⊥CF，且EF=CF，

∴平行四邊形CDEF為正方形，

∴CE與DF互相垂直平分。

∴存在D（2，-3），使CE與DF互相垂直平分.