Question

【題目】（9分）探究題：如圖：

（1）△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=BD成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D，P在射線(xiàn)CA和射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)”，其他條

件不變，如圖（2）所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠BQP的大小保持不變．請(qǐng)你利用圖（2）的情形，

求證：∠BQP=60°；

（3）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE始終等于PE嗎？寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）DE=PE

【解析】

試題（1）由△ABC為等邊三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，繼而證得結(jié)論；

（2）同理可證得△ABP≌△BCD（SAS），則可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）首先過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，則可證得△DCG為等邊三角形，繼而證得△DGE≌△PBE（AAS），則可證得結(jié)論．

試題解析：解：（1）成立．

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

根據(jù)題意得：CD=BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴AP=BD；

（2）根據(jù)題意，CP=AD，

∴CP+BC=AD+AC，

即BP=CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴∠APB=∠BDC，

∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，

∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．

理由：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，

∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，

∴△DCG為等邊三角形，

∴DG=CD=BP，

在△DGE和△PBE中，

，

∴△DGE≌△PBE（AAS），

∴DE=PE．