【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四邊形ADEF是矩形,點B、C分別在邊AD、AF上,且BC∥DF.
(1)求證:,BD⊥CF;
(2)當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,(1)中的結(jié)論還成立.理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)平行線分線段成比例即可得出,然后利用矩形的性質(zhì)即可證明BD⊥CF;
(2)延長DB交CF于G,交AF于H,先證明△ABC∽△ADF,得出,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出的∠CAF=∠BAD和對應(yīng)邊成比例證明△ABD∽△ACF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)有,∠AFC=∠ADB,最后通過等量代換可得到∠FGH=90°,即可證明BD⊥CF.
(1)∵BC∥DF,
∴,
∵四邊形ADEF是矩形,
∴∠A=90°,
∴AD⊥AF,
∴BD⊥CF;
(2)(1)中的結(jié)論還成立.理由如下:
延長DB交CF于G,交AF于H,如圖2所示:
由(1)得:BC∥DF,
∴∠ABC=∠ADF,∠ACB=∠AFD,
∴△ABC∽△ADF,
∴,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAF=∠BAD,
∴△ABD∽△ACF,
∴,∠AFC=∠ADB.
∵∠GHF=∠AHD,∠ADB+∠AHD=90°,
∴∠AFC+∠GHF=90°,
∴∠FGH=90°,
∴BD⊥CF.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,若∠B=60°,點E、F分別在AB、AD上,且BE=AF,則∠AEC+∠AFC的度數(shù)等于( )
A.120°B.140°C.160°D.180°
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【題目】如圖1,拋物線交正半軸于點,將拋物線先向右平移3個單位,再向上平移3個單位得到拋物線,與交于點,直線交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點是拋物線上間的一點,作軸交拋物線于點,連接,.設(shè)點的橫坐標為,當為何值時,使的面積最大,并求出最大值;
(3)如圖2,將直線向下平移,交拋物線于點,,交拋物線于點,,則的值是否為定值,證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,CD是弦,且AB⊥CD于點E,連接AC、OC、BC
(1)求證:∠ACO=∠BCD;
(2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙O的面積.(結(jié)果保留π)
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【題目】下列說法正確的是( )
A.任意給定一個正方形,一定存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的一半
B.任意給定一個正方形,一定存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍
C.任意給定一個矩形,一定存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半
D.任意給定一個矩形,一定存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍
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【題目】如圖,直線與軸交于點,與軸交于點,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式;
(2)已知點是反比例函數(shù)圖象上的一個動點,求點到直線距離最短時的坐標.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對角線AC為⊙O的直徑,過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度數(shù);
(2)求證:DF是⊙O的切線;
(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.
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【題目】如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于( )
A. 2 B. 3 C. D.
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【題目】如圖,直線y=x+3與兩坐標軸交于A、B兩點,拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點,且交x軸的正半軸于點C,點D是拋物線的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)求拋物線的解析式、對稱軸和頂點坐標.
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