Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，E是AD的一點，且AE＝2，M是AB上一點，射線ME交CD的延長線于點F，EG⊥ME交BC于點G，連接MG，FG，FG交AD于點N．

（1）當點M為AB中點時，則DF＝　 　，FG＝　 　．（直接寫出答案）

（2）在整個運動過程中，的值是否會變化，若不變，求出它的值；若變化，請說明理由．

（3）若△EGN為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的AM的長度．

Answer 1

【答案】（1）8， ；（2）在整個運動過程中，的值不會變化，理由詳見解析；（3）當AM＝﹣1+或1或時，△EGN為等腰三角形．

【解析】

（1）如圖1，過G作GH⊥AD于H，先證明AE＝AM＝2，得∠AEM＝∠DEF＝45°，則DF＝DE＝8，再求CG的長，根據(jù)勾股定理計算FG的長；

（2）根據(jù)ME⊥EG，證明△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，可得tan∠EGM＝＝tan∠EFG＝，可得∠EGM＝∠EFG．可得∠MGF＝90°，由三角函數(shù)定義可得結(jié)論；

（3）設(shè)AM＝m，則BM＝4﹣m，DF＝4m，證明△MBG∽△GCF，表示CG＝8﹣2m，BG＝2+2m．分三種情況進行討論，根據(jù)平行線分線段成比例定理和三角函數(shù)定義列等式可得結(jié)論．

（1）如圖1，過G作GH⊥AD于H，

∵點M為AB中點，AB＝4，

∴AM＝2，

∵AE＝2，

∴AE＝AM＝2，

∴DE＝10﹣2＝8，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠CDA＝90°，

∴∠AEM＝∠DEF＝45°，

∴DF＝DE＝8，

∵EG⊥ME，

∴∠MEG＝90°，

∴∠HEG＝∠EGH＝45°，

∴GH＝EH＝4，

∴CG＝DH＝10﹣2﹣4＝4，

Rt△FGC中，FG2＝CG2+CF2，

FG＝；

（2）在整個運動過程中，的值不會變化，理由是：

如圖1，過點G作GH⊥AD于點H，

∵ME⊥EG，

∴△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，

∴，，

∴，，

∴∠EGM＝∠EFG．

∵∠EGF+∠EFG＝90°，

∴∠EGF+∠EGM＝90°，即∠MGF＝90°，

∴．

（3）設(shè)AM＝m，則BM＝4﹣m，DF＝4m，

∴CF＝4+4m．

由（2）得∠MGF＝90°，

∴△MBG∽△GCF，

∴，

∴，

∴CG＝8﹣2m，BG＝2+2m．

分三種情況：

ⅰ）當EG＝NG時，如圖2，過點G作GH⊥AD于點H，則EH＝HN＝2m，

∴DN＝（8﹣2m）﹣2m＝8﹣4m．

∵DN∥CG，

∴，即，

∴m＝﹣1±，

解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍去）．

∴AM＝﹣1；

ⅱ） 當EN＝NG時，∠NEG＝∠NGE．

∵AD∥BC，

∴∠NEG＝∠EGB，

∴∠EGB＝∠NGE．

如圖3，過點E作EK⊥BC于點K，則KG＝8﹣（8﹣2m）＝2m，

∴，

∴，

∴m＝1．

ⅲ）當EN＝EG時，如圖4，∠ENG＝∠EGN．

∵AD∥BC，

∴∠ENG＝∠DGC，

∴∠EGN＝∠DGC．

∴，

∴

∴．

綜上所述：當AM＝﹣1+或1或時，△EGN為等腰三角形．