Question

【題目】已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．

（1）如圖1，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，求∠APC．

（2）如圖2，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】整體分析：

分別過(guò)點(diǎn)P，K作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可求解.

解：（1）如圖1，過(guò)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）∠AKC=∠APC．

理由：如圖2，過(guò)K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

過(guò)P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，

∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，

∴∠AKC=∠APC；

（3）∠AKC=∠APC．

理由：如圖3，過(guò)K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，

過(guò)P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，

∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，

∴∠AKC=∠APC．