Question

【題目】如圖，中，．． 將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到點，點與點關(guān)于直線對稱，連接，，．

(1)依題意補全圖形：

(2)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)請問在直線上是否存在點．使得恒成立若存在，請用文字描述出點的準確位置，并畫圖證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）存在，點P是在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，直線與直線的交點，圖和理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）首先利用垂直平分線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有是等邊三角形，然后利用等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，從而可證，則有，從而可證是等邊三角形；

（3）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，延長交直線于點P，連接，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形，然后通過等量代換得出，從而可證，則，再通過等腰三角形的性質(zhì)和角度之間的關(guān)系得出，又因為，，則有．

（1）如圖，

（2）是等邊三角形，理由如下：

連接CD,CE，延長CB交DE于點F，

∵點與點關(guān)于直線對稱，

∴CF垂直平分DE，

∴ ．

由旋轉(zhuǎn)可知， ，

是等邊三角形，

，

．

，

，，

，

，

．

在和中，

，

，

∴是等邊三角形；

（3）存在，點P是在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，直線與直線的交點，理由如下：

將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，延長交直線于點P，連接，如圖，

由（2）可知是等邊三角形，

，

，

．

由旋轉(zhuǎn)可知， ，

∴是等邊三角形，，

，

．

在和中，

．

，

，

，

，

．

，

，

∴直線BE上存在一點P，使得，點P是在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，直線與直線的交點．