【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,ACx軸,A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,延長(zhǎng)CAy軸于點(diǎn)D,AD=1.

(1)求該反比例函數(shù)的解析式;

(2)將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到EBF,使點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)F處,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1) y=;(2) 旋轉(zhuǎn)角為120°, E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+,

【解析】

(1)設(shè)A(1,k),再表示出B(3,k-4),則利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到3(k-4)=k,解方程求出k即可得到該反比例函數(shù)的解析式;
(2)作BMx軸于M,ENx軸于N,如圖,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF=BC=4,EF=AC=2,BFE=BCA=90°,CBF等于旋轉(zhuǎn)角,再計(jì)算出BM=CM-BC=2,則在RtBMF中,利用三角函數(shù)可求出∠MBF=60°,MF=,BM=,于是得到旋轉(zhuǎn)角為120°,然后證明RtBMFRtFNE,利用相似比求出FNEN,從而可得到E點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)ACx軸,AD=1,

A(1,k),

∵∠C=90°,AC=2,BC=4,

B(3,k﹣4),

∵點(diǎn)By=的圖象上,

3(k﹣4)=k,解得k=6,

∴該反比例函數(shù)的解析式為y=

(2)作BMx軸于M,ENx軸于N,如圖,

∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到EBF,

BF=BC=4,EF=AC=2,BFE=BCA=90°,CBF等于旋轉(zhuǎn)角,

BCx軸,A(1,6),

BM=CM﹣BC=6﹣4=2,

RtBMF中,∵cosMBF===

∴∠MBF=60°,MF=BM=,

∴∠CBF=180°﹣MBF=120°,

∴旋轉(zhuǎn)角為120°;

∵∠BFM+MBF=90°,BFM+EFN=90°,

∴∠MBF=EFN,

RtBMFRtFNE,

==,即==

FN=1,EN=

ON=OM+MF+FN=1++1=2+

E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+).

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