Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，過點(diǎn)D作AB的平行線交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的長(zhǎng)（單位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩根，求AB的長(zhǎng)以及菱形ABCD的面積；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．若M、N同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，△MON的面積為 ？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2﹣7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB= =5，

S菱形ABCD= AC×BD= ×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）問的條件下，設(shè)M、N同時(shí)出發(fā)x秒鐘后，△MON的面積為 ，

當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，x＜2，S△MON= （4﹣2x）（3﹣x）= ；

解得x1= ，x2= （大于2，舍去）；

當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OB上時(shí)，2＜x＜3，S△MON= （3﹣x）（2x﹣4）= ，

解得x1=x2= ；

當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OD上時(shí)，即3＜x≤4，S△MON= （2x﹣4）（x﹣3）= ；

解得x1= ，x2= （小于3，舍去）．

綜上所述：M，N出發(fā) 秒， 秒， 秒鐘后，△MON的面積為

【解析】（1）根據(jù)題意，用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；（2）解方程可得OA、OB的長(zhǎng)，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對(duì)應(yīng)對(duì)角線積的一半”計(jì)算連線面積；（3）根據(jù)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中與O點(diǎn)的位置關(guān)系，分三種情況分別討論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．