Question

如圖，△ABC中，AB=AC，作以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E、F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）3.

解析試題分析：（1）連接OD，AD，由切線的性質可得OD⊥EF，再利用圓周角定理證明AD⊥BC，根據等腰三角形的性質可證明OD∥AC，由平行線的性質即可得到EF⊥AC；
（2）設⊙O的半徑為x，由O∥AC，可得：△ODF∽△AEF，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于x的比例式，求出x的值即可．
試題解析：（1）證明：連接OD，AD，

∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC．    
∴AC⊥EF．
（2）解：設⊙O的半徑為x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF．
∴，即．
解得：x=3．
∴⊙O的半徑為3．
考點：1.切線的性質；2.相似三角形的判定與性質．