Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁：y=x與直線l₂：y=-x+6相交于點(diǎn)M，直線l₂與x軸相交于點(diǎn)N．
（1）求M，N的坐標(biāo)．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長度的速度移動，設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動的時(shí)間為t（從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)開始結(jié)束）．直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過程）．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解兩條直線的解析式組成的方程組的解，即可求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，在y=-x+6中，令y=0即可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，則N的坐標(biāo)即可求解；
（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五種情況，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式，即可求得函數(shù)的解析式；
（3）分別求得每種情況下函數(shù)的最值或函數(shù)值的范圍，即可確定．
解答：解：（1）解方程組，
解得：，
則M的坐標(biāo)是：（4，2）．
在解析式y(tǒng)=-x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標(biāo)是：（6，0）．

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是一個(gè)三角形，OB=t，則高是t，則面積是×t•t=t²；
當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：t，上底是：（t-1），根據(jù)梯形的面積公式可以得到：S=[t+（t-1）]=（t-）；
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，過M作x軸的垂線，則重合部分被垂線分成兩個(gè)直角梯形，兩個(gè)梯形的下底都是2，上底分別是：-t+6和（t-1），根據(jù)梯形的面積公式即可求得
S=-t²+t-；
當(dāng)5＜t≤6時(shí)，重合部分是直角梯形，與當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形的計(jì)算方法相同，則S=（13-2t）；
當(dāng)6＜t≤7時(shí)，重合部分是直角三角形，則與當(dāng)0≤t≤1時(shí)，解法相同，可以求得S=（7-t）²．

則：S=；

（3）在0≤t≤1時(shí)，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當(dāng)t=1時(shí)，取得最大值是：；
當(dāng)1＜t≤4，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當(dāng)t=4時(shí)，取得最大值是：（4-）=；
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，是二次函數(shù)，對稱軸t=，則最大值是：-×（）²+×-=；
當(dāng)5＜t≤6時(shí)，函數(shù)值y隨t的增大而減小，無最大值；
同理，當(dāng)6＜t≤7時(shí)，y隨t的增大而減小，無最大值．
總之，函數(shù)的最大值是：．
點(diǎn)評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要涉及聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，面積求解，求分段函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的增減性，正確表示出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．