Question

【題目】定義：兩條拋物線頂點都在直線y=x上，且兩條拋物線關于原點成中心對稱，則稱這兩條拋物線為一對“友好拋物線”．

（1）拋物線y=2（x-1）2+1如圖1所示，請畫出它的“友好拋物線”，并直接寫出它的解析式；
（確認無誤后，請用黑色水筆描黑）
（2）一對“友好拋物線”，其中一條拋物線的解析式為y= -（x+h）2-h，這對“友好拋物線”與y軸交點記為A，B，記AB=n（當A與B重合時，記n=0），現(xiàn)我們來探究n與h的關系；
①當h≥0時，如圖2所示，求n與h的函數(shù)關系式；
②當h＜0時，求n與h的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，要使 ≤n≤ ，試直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：畫圖如下圖，函數(shù)解析式為：y=-2(x+1)2-1．

（2）

解：拋物線y= -（x+h）2-h的“友好拋物線”解析式為：y=（x-h）2+h

①當h≥0時，A（0， h2+h）， B（0，-h2-h）

∴n=AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

②當h＜0時，

當h2+h＜-h2-h，即-1＜h＜0

n= AB=(-h2-h）-(h2+h）=-2h2-2h

當h2+h≥-h2-h，即h≤-1

n= AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

綜上可得：

（3）

解：由（2）可知：

函數(shù)圖象如下：

可求得各點坐標如下：

C ；H

D ；E ；F ； G ,

所以要使 ≤n≤ ， h的取值范圍為：

或 或 ．

【解析】（1）根據(jù)“友好拋物線”的定義和成中心對稱的特征，寫出拋物線的解析式并畫圖；
（2）利用第（1）問的結論，根據(jù)兩點間距離公式表示出AB的長，進而求出n與h的函數(shù)關系式；
（3）利用第（2）問的結論，數(shù)形結合，通過解方程求出各個點的坐標即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�