【題目】如圖,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合),將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PGDCH,折痕為EF,連接BP、BH

1)求證:∠APB=BPH;

2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),求證:PDH的周長(zhǎng)是定值;

3)當(dāng)BE+CF的長(zhǎng)取最小值時(shí),求AP的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)PDH的周長(zhǎng)是定值為8,理由見(jiàn)解析;(32

【解析】試題分析:(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH,進(jìn)而利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案;

2)首先證明△ABP≌△QBP,進(jìn)而得出△BCH≌△BQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;

3)過(guò)FFM⊥AB,垂足為M,則FM=BC=AB,證明△EFM≌△BPA,設(shè)AP=x,利用折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)用x表示出BECF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

試題解析:(1)解:如圖1,

∵PE=BE,

∴∠EBP=∠EPB

∵∠EPH=∠EBC=90°,

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP

∠PBC=∠BPH

∵AD∥BC,

∴∠APB=∠PBC

∴∠APB=∠BPH

2)證明:如圖2,過(guò)BBQ⊥PH,垂足為Q

由(1)知∠APB=∠BPH

∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,

△ABP△QBP中,

,

∴△ABP≌△QBPAAS),

∴AP=QPAB=BQ,

∵AB=BC,

∴BC=BQ

∠C=∠BQH=90°,BH=BH,

△BCH△BQH中,

,

∴△BCH≌△BQHSAS),

∴CH=QH

∴△PHD的周長(zhǎng)為:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

∴△PDH的周長(zhǎng)是定值.

3)解:如圖3,過(guò)FFM⊥AB,垂足為M,則FM=BC=AB

∵EF為折痕,

∴EF⊥BP

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°,

∴∠EFM=∠ABP

∵∠A=∠EMF=90°,

△EFM△BPA中,

,

∴△EFM≌△BPAAAS).

∴EM=AP

設(shè)AP=x

Rt△APE中,(4-BE2+x2=BE2

解得BE=2+,

CF=BE-EM=2+-x,

BE+CF=-x+4=x-22+3

當(dāng)x=2時(shí),BE+CF取最小值,

∴AP=2

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