Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：

將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3

方法二：

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

（2）

解：方法一：

連接BC，直線BC與直線l的交點為P；

∵點A、B關(guān)于直線l對稱，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+3；

當(dāng)x=1時，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）

方法二：

連接BC，

∵l為對稱軸，

∴PB=PA，

∴C，B，P三點共線時，△PAC周長最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）

（3）

解：方法一：

拋物線的對稱軸為：x=﹣ =1，設(shè)M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

當(dāng)m=6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標(biāo)為 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）

方法二：

設(shè)M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），

∵△MAC為等腰三角形，

∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，

（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，

（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，

（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，

經(jīng)檢驗，t=6時，M、A、C三點共線，故舍去，

綜上可知，符合條件的點有4個，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）

【解析】方法一：（1）直接將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．（2）由圖知：A、B點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設(shè)出M點的坐標(biāo)，然后用M點縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．
方法二：（1）略．（2）找出A點的對稱點點B，根據(jù)C，P，B三點共線求出BC與對稱軸的交點P．（3）用參數(shù)表示的點M坐標(biāo)，分類討論三種情況，利用兩點間距離公式就可求解．（4）先求出AC的直線方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直線方程，并求出H點坐標(biāo)，進而求出O’坐標(biāo)，求出DO’直線方程后再與AC的直線方程聯(lián)立，求出Q點坐標(biāo)．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．