Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 個(gè)單位長度，再向右平移n（n＞0）個(gè)單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得

，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+5

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+5，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ），

∴當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 個(gè)單位長度，再向右平移n（n＞0）個(gè)單位長度后，得到的新拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1+n，1），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范圍為0＜n＜3；

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)D，

由題意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC= ，

設(shè)PD=AD=m，則CD=AC+AD= +m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴ ，即 ，

由 可求得m= ，

∴ ，解得PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如圖2，在y軸正半軸上截取OP′=OP=12，連接AP′，

則∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也滿足題目條件，此時(shí)P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

綜上可知PC的長為7或17

【解析】（1）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）可先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)平移，可得平移后的坐標(biāo)為（1+n，1），再由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，可求得y=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，從而可求得n的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)條件可知∠PAD=45°，設(shè)PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的長，此時(shí)可求得PO=12，利用等腰三角形的性質(zhì)，可知當(dāng)P點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí)，則有OP=12，從而可求得PC=5．本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、坐標(biāo)的平移、三角形的外角、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論等．在（2）中確定出M點(diǎn)向右平移的最大位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題目考查知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，特別是第（3）問難度很大．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．