Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，連接AE，AC和BE相交于點(diǎn)O．
（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AE于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R．
①四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當(dāng)線段BP的長(zhǎng)為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCE是菱形．證明：∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，∴EC∥AB，EC=AB．∴四邊形ABCE是平行四邊形．又∵AB=BC，∴四邊形ABCE是菱形．
（2）①由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，可得S_△PBO=S_△QEO，由△ECD是由△ABC平移得到的，可得ED∥AC，ED=AC=6．又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，可得S_{四邊形PQED}=S_△QEO+S_{四邊形POED}=S_△PBO+S_{四邊形POED}=S_△BED=

1

2

×BE×ED=

1

2

×8×6=24．
②如圖，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3．∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng)．∴∠2與∠1對(duì)應(yīng)．即∠2=∠1，∴OP=OC=3．過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點(diǎn)．可證△OGC∽△BOC．可得CG：CO=CO：BC．從而可求解．

解答：解：（1）四邊形ABCE是菱形．
證明：∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴EC∥AB，EC=AB．
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCE是菱形．

（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化，理由如下：
由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，
∴S_△PBO=S_△QEO
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6．
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S_{四邊形PQED}=S_△QEO+S_{四邊形POED}=S_△PBO+S_{四邊形POED}=S_△BED=

1

2

×BE×ED=

1

2

×8×6=24．
②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似．
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3．
∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng)．
∴∠2與∠1對(duì)應(yīng)．
即∠2=∠1，
∴OP=OC=3．
過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點(diǎn)．可證△OGC∽△BOC．
∴CG：CO=CO：BC．
即CG：3=3：5．
∴CG=

9

5

．
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×

9

5

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握相似三角形及菱形的判定定理．