Question

如圖在平面直角坐標系中，已知直角梯形OABC的頂點分別是O（0，0），點A（9，0），B（6，4），C（0，4）．點P從點C沿C-B-A運動，速度為每秒2個單位，點Q從A向O點運動，速度為每秒1個單位，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動的時間是t秒．
（1）點P和點Q誰先到達終點？到達終點時t的值是多少？
（2）當(dāng)t取何值時，直線PQ∥AB？并寫出此時點P的坐標．（寫出解答過程）
（3）是否存在符合題意的t的值，使直角梯形OABC被直線PQ分成面積相等的兩個部分？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．
（4）探究：當(dāng)t取何值時，直線PQ⊥AB？（只要直接寫出答案，不需寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）求出BC，AB的長度，AQ的長度，即可求得從出發(fā)點到終點的時間；
（2）直線PQ∥AB時，BP=AQ，即可得到一個關(guān)于關(guān)于t的方程，即可求得t的值；
（3）首先求得四邊形AOCB的面積，則四邊形CPOQ的面積即可得到，根據(jù)面積公式即可得到關(guān)于t的方程，從而求解；
（4）直線PQ⊥AB，則直線PQ與直線AB的斜率互為負倒數(shù)，據(jù)此即可求得t的值．

解答：解：（1）AB=5，BC+BA=11，OA=9，

11

2

=5.5，
∴點P先到達終點，到達終點時t的值為5.5秒．

（2）假設(shè)PQ∥AB，又CB∥OA，
∴四邊形AQPB為平行四邊形，
∴PB=AQ，即t=6-2t，
解得t=2，
則當(dāng)t=2時，PQ∥AB，CP=2×2=4，
此時點P的坐標（4，4）；

（3）不存在．
當(dāng)使直角梯形OABC被直線PQ分成面積相等的兩個部分，
當(dāng)點P在線段BC上時：
即

1

2

（PC+OQ）×CO=15，

1

2

（9-t+2t）×4=15，
得t=-1.5不合題意，
當(dāng)點P在線段AB上時：AP=11-2t，
作BD⊥OA，PE⊥OA，則△APE∽△ABD，

PE

BD

=

AP

AB

，即

PE

4

=

11-2t

5

，解得PE=

4

5

（11-2t），

1

2

×

4

5

（11-2t）•t=15，
即4t²-22t+75=0，方程沒有實數(shù)根．
所以不存在符合題意的t的值，使直角梯形OABC被直線PQ分成面積相等的兩個部分；

（4）作BD⊥OA交OA于D．
易證△ABD∽△AQP．
∴AD：AP=AB：AQ．
∴3：（11-2t）=5：t
∴3t=55-10t，
解得t=

55

13

．
∴當(dāng)t=

55

13

時直線PQ⊥AB．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出相似三角形是解題關(guān)鍵．