Question

如圖在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，0），以點A為圓心，2為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，C為⊙A上一點，P是x軸上的一點，連接CP，將⊙A向上平移1個單位長度，⊙A與x軸交于M、N，與y軸相切于點G，且CP與⊙A相切于點C，∠CAP=60°．請你求出平移后MN和PO的長．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥x軸，垂足為H，連接AM，根據垂徑定理得到HM=HN，在Rt△AMH中，利用勾股定理即可求出MH，于是得到MN；
（2）分兩種情況討論：滿足要求的C有兩個：C₁、C₂．當∠C₁AP₁=60°時，CP是⊙A切線，根據切線的性質得到∠AC₁P₁=90°，則AP₁=2AC₁=4，再在Rt△AP₁H中利用勾股定理計算出P₁H，則OP₁=P₁H-MH；同理可求出OP₂．

解答：解：如圖，（1）連接OA，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，連接AM．
則HM=HN，
在Rt△AMH中，
∵AM=2，AH=1，
∴MH=

AM2-AH2

=

3

，
∴MN=2

3

；

（2）∵CP是⊙A切線，且∠CAP=60°
∴滿足要求的C有兩個：C₁、C₂
如圖，∠C₁AP₁=60°或∠C₂AP₂=60°
當∠C₁AP₁=60°時，
∵CP是⊙A切線，
∴∠AC₁P₁=90°，AC₁=2，
∴AP₁=4，
在Rt△AP₁H中，AH=1，AP₁=4，
∴P1H=

15

，
∴OP1=

15

-2，
同理可求P2H=

15

，
∴OP2=

15

+2，
∴OP的長是

15

-2或

15

+2．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑；也考查了垂徑定理和勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關系．