【題目】(1)如圖1,點為線段外一動點,且,,填空:當點位于__________時,線段的長取到最大值__________,且最大值為;(用含、的式子表示).
(2)如圖2,若點為線段外一動點,且,,分別以,為邊,作等邊和等邊,連接,.
①圖中與線段相等的線段是線段__________,并說明理由;
②直接寫出線段長的最大值為__________.
(3)如圖3,在平面直角坐標系中,點的坐標為,點的坐標為,點為線段外一動點,且,,,請直接寫出線段長的最大值為__________,及此時點的坐標為__________.(提示:等腰直角三角形的三邊長、、滿足)
【答案】CB的延長線上; a+b; CD=BE,證明見解析; 9; ; 或.
【解析】
(1) 根據(jù)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論; .
(2) ①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1) 中的結(jié)論即可得到結(jié)果;
(3)連接BM,將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=4, BN=AM.根據(jù)當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為如圖2.過P作PE⊥x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解: (1) ∵點A為線段BC外一動點,且BC=a, AB=b,
∴當點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b.
故答案為: CB的延長線上,a+b;
(2) ①CD=BE,
理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD與△EAB中,
∴△CAD≌△EAB (SAS) ,
∴CD=BE.
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,
由(1)知,當線段CD的長取得最大值時,點D在CB的延長線上,
∴最大值為BD+BC=AB+BC=9;
故答案為:CD=BE,9.
(3)如圖1:
∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形。
∴PN=PA=2,BN=AM, .
∵A的坐標為(4. 0),點B的坐標為(10, 0) ,
∴OA=4,OB=10,
∴AB=6.
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,
∴當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,最大值=AB+AN,
∵
∴最大值為:
如圖2.
過P作PE⊥x軸于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴ ,
∴
∴ .
如圖3中,
根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時,時,也滿足條件.
綜上所述,滿足條件的點P坐標 或 ,AM的最大值為.
故答案為:, 或
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=與x軸交于A,C(A在C的左側(cè)),點B在拋物線上,其橫坐標為1,連接BC,BO,點F為OB中點.
(1)求直線BC的函數(shù)表達式;
(2)若點D為拋物線第四象限上的一個動點,連接BD,CD,點E為x軸上一動點,當△BCD的面積的最大時,求點D的坐標,及|FE﹣DE|的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=a(x﹣)(x+)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,直線DE是拋物線的對稱軸,點D在x軸上,點E在拋物線上,直線y=kx+過點A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第二象限對稱軸左側(cè)拋物線上一點,過點P作PQ∥AC交對稱軸于點Q,設(shè)點P的橫坐標為t,線段QD的長為d,求d與t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,直線AC與對稱軸交于點F,點M在對稱軸ED上,連接AM、AE,∠AMD=2∠EAM,過點A作AG⊥AM交過點D平行于AE的直線于點G,點N是線段BP延長線上一點,連接AN、MN、NF,若四邊形NMGA與四邊形NFDA的面積相等,且FN∥AM,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,一次函數(shù)()的圖象與反比例函數(shù)(k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與y軸交于C點,過點A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點B的坐標為(m,﹣2).求:
(1)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)寫出當反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與軸交于、兩點(點在點的左邊),與軸交于點,,點為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點為線段上一點(點不與點、重合),過點作軸的垂線,與直線交于點,與拋物線交于點,過點作交拋物線于點,過點作軸于點,可得矩形,如圖1,點在點左邊,當矩形的周長最大時,求的值,并求出此時的的面積;
(3)已知,點在拋物線上,連,直線,垂足為,若,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點B(6,1),C(5,0),且與y軸交于點A.
(1)求拋物線的表達式及點A的坐標;
(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點,過點P作PQ⊥OA,交線段OA的延長線于點Q,如果∠PAB=45°.求證:△PQA∽△ACB;
(3)若點F是線段AB(不包含端點)上的一點,且點F關(guān)于AC的對稱點F′恰好在上述拋物線上,求FF′的長.
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