Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．
（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點坐標為（1，0）．
設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
將C（0，1），D（1，0）代入得：，
解得：b=1，k=-1，
∴直線CD的解析式為：y=-x+1．

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3，
將C（0，1）代入得：1=a×（-2）²+3，解得a=．
∴y=（x-2）²+3=x²+2x+1．

（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸，則點C、E關于對稱軸（直線x=2）對稱，
∴點E的坐標為（4，1）．
如答圖①所示，設對稱軸（直線x=2）與CE交于點F，則F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．
如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．
（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F′，在線段QE上取異于點P的任一點P′，連接F′C″，F′P′，P′C′．
由軸對稱的性質可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是點C′，C″之間的折線段，
由兩點之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．）
如答圖③所示，連接C′E，
∵C，C′關于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，
∴△QC′E為等腰直角三角形，
∴△CEC′為等腰直角三角形，
∴點C′的坐標為（4，5）；
∵C，C″關于x軸對稱，∴點C″的坐標為（-1，0）．
過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．
綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為．
分析：（1）利用待定系數法求出直線解析式；
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）關鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；
（4）如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．
利用軸對稱的性質、兩點之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最小．
如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．
點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、軸對稱的性質等重要知識點，涉及考點較多，有一點的難度．本題難點在于第（4）問，如何充分利用軸對稱的性質確定△PCF周長最小時的幾何圖形，是解答本題的關鍵．