【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),經(jīng)過點A的直線l:y=kx+b與y軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.
(1)直接寫出點A的坐標,并求直線l的函數(shù)表達式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)點E是直線l上方的拋物線上的一點,若△ACE的面積的最大值為,求a的值;
(3)設P是拋物線對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)A(-1,0),y=ax+a.(2)a=-;(3)P點的坐標為P1(1,-4),P2(1,-).
【解析】
試題分析:(1)由拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于兩點A、B,求得A點的坐標,作DF⊥x軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標,然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達式.
(2)設點E(m,a(m+1)(m-3)),yAE=k1x+b1,利用待定系數(shù)法確定yAE=a(m-3)x+a(m-3),從而確定S△ACE=(m+1)[a(m-3)-a]=(m-)2-a,根據(jù)最值確定a的值即可;
(3)分以AD為對角線、以AC為邊,AP為對角線、以AC為邊,AQ為對角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點P的坐標即可.
試題解析:(1)令y=0,則ax2-2ax-3a=0,
解得x1=-1,x2=3
∵點A在點B的左側,
∴A(-1,0),
如圖1,作DF⊥x軸于F,
∴DF∥OC,
∴,
∵CD=4AC,
∴=4,
∵OA=1,
∴OF=4,
∴D點的橫坐標為4,
代入y=ax2-2ax-3a得,y=5a,
∴D(4,5a),
把A、D坐標代入y=kx+b得,
解得,
∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a.
(2)如圖1,過點E作EN⊥y軸于點N
設點E(m,a(m+1)(m-3)),yAE=k1x+b1,
則,
解得:,
∴yAE=a(m-3)x+a(m-3),M(0,a(m-3))
∵MC=a(m-3)-a,NE=m
∴S△ACE=S△ACM+S△CEM= [a(m-3)-a]+ [a(m-3)-a]m
=(m+1)[a(m-3)-a]
= (m-)2-a,
∴有最大值-a=,
∴a=-;
(3)令ax2-2ax-3a=ax+a,即ax2-3ax-4a=0,
解得x1=-1,x2=4,
∴D(4,5a),
∵y=ax2-2ax-3a,
∴拋物線的對稱軸為x=1,
設P1(1,m),
①若AD是矩形的一條邊,
由AQ∥DP知xD-xP=xA-xQ,可知Q點橫坐標為-4,將x=-4帶入拋物線方程得Q(-4,21a),
m=yD+yQ=21a+5a=26a,則P(1,26a),
∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠ADP=90°,
∴AD2+PD2=AP2,
∵AD2=[4-(-1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
PD2=[4-(-1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
∴[4-(-1)]2+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=(-1-1)2+(26a)2,
即a2=,∵a<0,∴a=-,
∴P1(1,-).
②若AD是矩形的一條對角線,
則線段AD的中點坐標為(,),Q(2,-3a),
m=5a-(-3a)=8a,則P(1,8a),
∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠APD=90°,
∴AP2+PD2=AD2,
∵AP2=[1-(-1)]2+(8a)2=22+(8a)2,
PD2=(4-1)2+(8a-5a)2=32+(3a)2,
AD2=[4-(-1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2,
解得a2=,∵a<0,∴a=-,
∴P2(1,-4).
綜上可得,P點的坐標為P1(1,-4),P2(1,-).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)的圖象相交于C,D兩點,分別過C,D兩點作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F(xiàn),連接CF,DE.有下列四個結論:
①△CEF與△DEF的面積相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正確的結論是( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.②③④
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【題目】(本小題滿分9分)等邊△ABC的邊長為2,P是BC邊上的一動點(不與B,C重合),設BP=x,連接AP,以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE,分別與邊AB,AC交于點M,N. (如圖1).
(1)求證:AM=AN;
(2)若BM=,求x的值;
(3)求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關系式及S的最小值;
(4)如圖2,連接DE分別與邊AB,AC交于點G,H.當x為何值時,∠BAD=15 .
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【題目】在一個不透明的布袋中,紅色、黑色、白色的玻璃球共有20個,除顏色外其他完全相同.小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%,則口袋中白色球很可能有個.
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【題目】下列說法中,正確的是( )
A. 正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)
B. 0既是整數(shù)也是負整數(shù)
C. 正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)
D. 正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)
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【題目】已知四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一個條件,即可推出該四邊形是正方形,那么這個條件可以是( 。
A. ∠D=90° B. AB=CD
C. AD=BC D. BC=CD
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【題目】一魚池里有鯉魚,鯽魚,鰱魚共1000尾,一漁民通過多次捕撈試驗后發(fā)現(xiàn),鯉魚,鯽魚出現(xiàn)的概率約為31%和42%,則這個魚池里大概有鯉魚______尾,鯽魚______尾,鰱魚______尾.
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