【題目】如圖(1),已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,GE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,GF⊥CD,垂足為點(diǎn)F.
(1)證明與推斷:
①求證:四邊形CEGF是正方形;
②推斷:的值為 :
(2)探究與證明:
將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由:
(3)拓展與運(yùn)用:
正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2,則BC= .
【答案】(1)①四邊形CEGF是正方形;②;(2)線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;(3)3
【解析】(1)①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形,再由即可得證;
②由正方形性質(zhì)知、,據(jù)此可得、,利用平行線分線段成比例定理可得;
(2)連接CG,只需證∽即可得;
(3)證∽得,設(shè),知,由得、、,由可得a的值.
(1)①∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四邊形CEGF是正方形;
②由①知四邊形CEGF是正方形,
∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,
∴,GE∥AB,
∴,
故答案為:;
(2)連接CG,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
=cos45°=、=cos45°=,
∴=,
∴△ACG∽△BCE,
∴,
∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;
(3)∵∠CEF=45°,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴,
設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=a,
則由得,
∴AH=a,
則DH=AD﹣AH=a,CH==a,
∴由得,
解得:a=3,即BC=3,
故答案為:3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知整數(shù)a0,a1,a2,a3,a4,…,滿足下列條件:a0=0,a1=﹣|a0+1|,a2=﹣|a1+2|,a3=﹣|a2+3|,…,以此類(lèi)推,a2019的值是( )
A. ﹣1009B. ﹣1010C. ﹣2018D. ﹣2020
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某摩托車(chē)廠本周計(jì)劃每日生產(chǎn)450輛摩托車(chē),由于工人實(shí)行輪休, 每日上班人數(shù)不一定相等,實(shí)際每日生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比情況如下表: [增加的輛數(shù)為正數(shù),減少的輛數(shù)為負(fù)數(shù)]
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 | -5 | +7 | -3 | +4 | +10 | -9 | -25 |
(1)本周星期六生產(chǎn)多少輛摩托車(chē)?
(2)本周總產(chǎn)量與計(jì)劃產(chǎn)量相比,是增加了還是減少了?為什么?
(3)產(chǎn)量最多的那天比產(chǎn)量最少的那天多生產(chǎn)多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“品中華詩(shī)詞,尋文化基因”.某校舉辦了第二屆“中華詩(shī)詞大賽”,將該校八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)后,繪制了如下不完整的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表與頻數(shù)分布直方圖.
頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表
組別 | 成績(jī)x(分) | 人數(shù) | 百分比 |
A | 60≤x<70 | 8 | 20% |
B | 70≤x<80 | 16 | m% |
C | 80≤x<90 | a | 30% |
D | 90≤<x≤100 | 4 | 10% |
請(qǐng)觀察圖表,解答下列問(wèn)題:
(1)表中a= ,m= ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)D組的4名學(xué)生中,有1名男生和3名女生.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)競(jìng)賽,則抽取的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB.
(1)若AB=AC=10cm,BC=6cm,求△BCE的周長(zhǎng);
(2)若∠A=40°,求∠EBC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四個(gè)結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△QSP;④AP垂直平分RS.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】撫順某中學(xué)為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況,從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,測(cè)試結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求測(cè)試結(jié)果為C等級(jí)的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形圖;
(3)若該中學(xué)八年級(jí)共有700名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)八年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有多少名?
(4)若從體能為A等級(jí)的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生,做為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對(duì)象,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),交y軸于點(diǎn)
C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱(chēng)軸分別交x軸、AC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是射線DE上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線
MN交x軸于點(diǎn)H,交拋物線于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M位于對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)).設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t..
(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于EF的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)① 點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)時(shí),求t的值.
② 點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,滿足以點(diǎn)C,P,M,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行
四邊形時(shí),則此時(shí)t的值是 (請(qǐng)直接寫(xiě)出答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(m>0)與x軸相交于點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)(2,2),求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)H,使AH+CH的值最小,若存在,求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在第四象限內(nèi),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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