Question

【題目】閱讀理解，我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．
（1）這個中點四邊形EFGH的形狀是；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點M在AB上且△AMD和△MCB為等邊三角形，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明．

Answer 1

【答案】
（1）平行四邊形
（2）解：四邊形EFGH為菱形．理由如下：

連接AC與BD，如圖2所示：

∵△AMD和△MCB為等邊三角形，

∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，

∴∠AMC=∠DMB，

在△AMC和△DMB中，

，

∴△AMC≌△DMB（SAS），

∴AC=DB，

∵∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，

∴EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，HE是△ABD的中位線，

∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，

∴EF∥GH，EF=GH，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

∵AC=DB，

∴EF=HE，

∴四邊形EFGH為菱形．

【解析】解：（1）中點四邊形EFGH是平行四邊形； 理由如下：連接AC，如圖1所示：

∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，
∴EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
所以答案是：平行四邊形；