【題目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點(diǎn),一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合,將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB,BC(或它們的延長線)于點(diǎn)M,N,設(shè)∠AEM=α(0°<α<90°),給出下列四個結(jié)論:
①AM=CN;②∠AME=∠BNE;③BN﹣AM=2;④S△EMN=.
上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
【解析】
試題分析:①如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中點(diǎn),作EF⊥BC于點(diǎn)F,則有AB=AE=EF=FC,∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,∴∠AEM=∠FEN,在Rt△AME和Rt△FNE中,∵∠AEM=∠FEN,AE=EF,∠MAE=∠NFE,∴Rt△AME≌Rt△FNE,∴AM=FN,∴MB=CN.
∵AM不一定等于CN,∴AM不一定等于CN,∴①錯誤,②由①有Rt△AME≌Rt△FNE,∴∠AME=∠BNE,∴②正確,③由①得,BM=CN,∵AD=2AB=4,∴BC=4,AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,∴③正確,④如圖,
由①得,CN=CF﹣FN=2﹣AM,AE=AD=2,AM=FN
∵tanα=,∴AM=AEtanα
∵cosα==,∴ ,∴=1+=1+=1+,∴=2(1+)
∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=(AE+BN)×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=(AE+BC﹣CN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣CN)×CN
=(AE+BC﹣CF+FN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣2+AM)(2﹣AM)
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣(2+AM)(2﹣AM)
=AE+AM﹣AE×AM+
=AE+AEtanα﹣tanα+
=2+2tanα﹣2tanα+2
=2(1+)
=,∴④正確.
故選C.
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【題目】已知從 n 邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)共有 4 條對角線,其周長為 56,且各邊長是連續(xù)的自然數(shù),求這個多邊形的最長邊長為__________.
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【題目】某校對七、八、九年級的學(xué)生進(jìn)行體育水平測試,成績評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等第.為了解這次測試情況,學(xué)校從三個年級隨機(jī)抽取200名學(xué)生的體育成績進(jìn)行統(tǒng)計分析.相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖、表如下:
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,a的值為 ,b的值為 ;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,八年級所對應(yīng)的扇形圓心角為 度;
(3)若該校三個年級共有2000名學(xué)生參加考試,試估計該校學(xué)生體育成績不合格的人數(shù).
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【題目】開學(xué)初,小明到某商場購物,發(fā)現(xiàn)商場正在進(jìn)行購物返券活動,活動規(guī)則如下:購物每滿100元,返購物券50元,此購物券在本商場通用,且用購物券購買商品不再返券.小明只購買了單價分別為60元、80元和120元的書包、T恤、運(yùn)動鞋,在使用購物券參與購買的情況下,他的實際花費(fèi)為 元.
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【題目】如圖,在△ABC中,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E、交AC于D,連接BD.
(1)若∠ABC=∠C,∠A=40°,求∠DBC的度數(shù);
(2)若AB=AC,且△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,求BE的長.
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【題目】證明定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等,已知:
如圖,在△ABC中,分別作AB邊、BC邊的垂直平分線,兩線相交于點(diǎn)P,分別交AB邊、BC邊于點(diǎn)E、F.
求證:AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P
證明:∵點(diǎn)P是AB邊垂直平線上的一點(diǎn),
∴ = ( ).
同理可得,PB= .
∴ = (等量代換).
∴ (到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的 )
∴AB、BC、AC的垂直平分線 .
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【題目】南沙群島是我國固有領(lǐng)土,現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè),當(dāng)漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向海里的C處,為了防止某國還巡警干擾,就請求我A處的魚監(jiān)船前往C處護(hù)航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.
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【題目】下列各對數(shù)中,結(jié)果相等的是( 。
A. (﹣3)2與﹣32 B. (﹣3)7與﹣37
C. ﹣(﹣3)2與﹣(﹣2)3 D. |﹣23|與﹣|23|
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【題目】如圖:在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG。
求證:(1)AD=AG,(2)AD與AG的位置關(guān)系如何。
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