Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止）．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒。

（1）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；
（2）試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1。

∵ABCD是等腰梯形，∴四邊形CDEF是矩形，
∴DE="CF"    
又∵AD=BC，
又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm

若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形。
∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t
    
（2）在Rt△ADE中，
      
當(dāng)時(shí)，
①如圖2，若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2

則CQ=t，BP=8－2t
      
解之得t=3（舍去）      
②如圖3，若點(diǎn)Q在AD上，即2<t≤4
過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H

由圖1知，
，則∠A=60°
在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60°，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2
      
由題意知，

即，解之得（不合題意，舍去），
       
答：存在，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半。

（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，通過，得，若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，通過，代入值，即可求解
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，通過點(diǎn)Q在CD上或在AD上，兩種情況進(jìn)行討論、求解